Errores en la regla de los trapecios y en la de simpson

Como no confirmas, resolveré lo que yo entiendo que has dicho.

$$\begin{align}&y = \frac{1}{sen \;e^{-x}}\\ &\\ &\\ &y´= \frac{-\cos e^{-x}(-e^{-x})}{sen^2 \;e^{-x}}=\frac{e^{-x}\cos \;e^{-x}}{sen^2\;e^{-x}}\\ &\\ &\\ &\\ &y´´=\frac{(-e^{-x}\cos\;e^{-x}+e^{-2x}sen\;e^{-x})sen^2\;e^{-x}+e^{-x}\cos\;e^{-x}2sen\;e^{-x}\cos e^{-x}·e^{-x}}{sen^4\;e^{-x}}=\\ &\\ &\\ &\frac{e^{-2x}}{sen\; e^{-x}}-\frac{e^{-x}\cos e^{-x}}{sen^2\;e^{-x}}+\frac{2e^{-2x}\cos^2 e^{-x}}{sen^3 e^{-x}}\\ &\end{align}$$

Bueno puedes comprobar que se va complicando y en la siguiente ya no voy a poder responder porque esté bien, los signos son muy complicados. Así como para cuentas complicada existen las calculadoras, para estas cosas liosas existen los ordenadores.

La derivada tercera aun la vamos a maquillar

$$y´´´=\frac{-e^{-3x}[3e^xsen^3e^{-x}+(-e^{2x}-5)\cos\;e^{-x}sen^2e^{-x}+6e^xcos^2e^{-x}sen\;e^{-x}-6cos^3e^{-x}]}{\sin^4e^{-x}}$$

$$\begin{align}&y^{IV} = e^{-4x}[(7e^{2x}+5)sen^4e^{-x}+(-e^{3x}-30e^x)\cos\;e^{-x}sen^3e^{-x}+\\ &(14e^{2x}+28)\cos^2e^{-x}sen^2e^{-x}-36e^x*\cos^3e^{-x}sen\;e^{-x}+24cos^4e^{-x}]\;/\;sen^5e^{-x}\end{align}$$

Como puedes ver la cosa ha quedado muy complicada. Paso a darte los valores que tendrán las derivadas en x= 0 que supongo es donde las quieres

y'(0) = 0.76305972223263

y''(0)= 1.405245409870437

y'''(0)= -0.038978086363634

Y''''(0)= 4.70652866499307

Y eso es todo.