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4.96)
a)
Debemos hacer que la integral definida entre 0 e infinito valga 1
$k(y^3)e^(-y/2) dy =k$(y^3)e^(-y/2)dy =
Hay que integrar varias veces por partes
u = y^3 ===> du = 3y^2 dy
dv = e^(-y/2) dy==> v = -2e^(-y/2)
=k[-2·y^3·e^(-y/2) + 6$y^2·e^(-y/2)dy]
u = y^2 ========> du = 2y dy
dv = e^(-y/2)dy ==> v =-2e^(-y/2)
= k[-2·y^3·e^(-y/2) -12y^2·e^(-y/2)+24$y·e^(-y/2)dy]
u = y ========> du = dy
dv = e^(-y/2)dy => v = -2e^(-y/2)
= k[-2·y^3·e^(-y/2) - 12y^2·e^(-y/2) - 24y·e^(-y/2) + 48$e^(-y/2)]
= - k[2·y^3·e^(-y/2) + 12y^2·e^(-y/2) + 24y·e^(-y/2) + 96e^(-y/2)]
Tengo que djarlo. Lo mandó ya para que no se pierda.
Y hacemos la última simplificación:
= -ke^(-y/2)·(2y^3+12y^2+24y+96)
Creo que merece la pena verificar si está bien, vamos a derivarlo para ver si da la función de densidad
ke^(-y/2)(y^3+6y^2+12y +48) - ke^(y/2) (6y^2+24y+24)
Pues ya se que no. Hubo un fallo donde puse el 24uv de la tercera integración, puse
-24e^(-y/2) y en realidad era
-48e^(-y/2)
El resultado final sería
$k(y^3)e^(-y/2) dy = -ke^(-y/2)·(2y^3+12y^2+48y+96)
derivamos ahora
ke^(-y/2)(y^3+6y^2+24y +48) - ke^(y/2) (6y^2+24y+48) = ke^(-y/2)·y^3 CORRECTO
Esa función primitiva evaluada entre 0 e infinito debe valer 1. El límite en infinito de eso es cero, porque el factor e^(-y/2) -->e^(-oo) = 1/e^oo = 1/oo = 0
Y en cero con el signo cambiado el valor es
k·e^0·(0+0+0+96) =1
k = 1/96
b)
La función de densidad es
f(y) =(1/96)y^3·e^(-y/2) si 0
Pongamos al lado una Gamma usando B=Beta y a=alfa para comparar
f(y) = y^(a-1)e^(-y/B) / [B^a·Gamma(a)] si 0
Para que el numerador sea igual se deduce que debe ser a = 4 y B=2
f(y) = y^(4-1)e^(-y/2) / [2^(4)·Gamma(4)]
f(y) = y^3·e^(-y/2) / [16Gamma(4)]
En la página 185 nos dice el libro que si n es entero
Gamma(n) = (n-1)!
f(y) = y^3·e^(-y/2)/(16·3!)
f(y) = y^3·e^(-y/2)/96
Luego nuestra distribución es una Gamma con alfa =4 y Beta=2
Ahora la página 187 definición 4.10 nos dice que una chi cuadrado (bueno, aquí la llaman ji cuadrada) es una gamma con parametros alfa = v/2 y Beta = 2, donde v son los grados de libertad
Y nuestra distribución cumple eso si hacemos v=8
Luego Y es una ji cuadrada con 8 grados de libertad.
c) Espero que esta sea inmediata, porque toda está teoría es como si no la hubiera dado nunca, la tengo completamente olvidada.
El teorema 4.9 dice que
media = v = 8
varianza = 2v = 16
Luego
desviación estándar = sigma = sqrt(16) = 4
Y eso es todo. Espero que te sirva y lo hayas entendido. Ültimamente aparecen de vez en cuando horribles cosas del tipo <spam... que no dejan ver bien lo escrito. No es culpa mía sino de la página, a mí se me ve todo bien pero al enviarlo se introducen cosas raras, culpa de los técnicos.
