Escribir y simplificar los primeros 4 términos del desarrollo dado.

De acuerdo con la fórmula, solo hay un número finito de términos cuando n es un número natural. Ya que entonces los números combinatorios n sobre k contienen el factor cero cuando k>n y el número de términos es k. Si el exponente es negativo todos las factores del número combinatorio serán negativos. Y Si no es un número entero tampococo tendrá nunca el factor cero. Por lo tanto, la expresión que nos piden tiene infinitos términos.

Los calcularemos usando la fórmula sin más:

$$\begin{align}&(x+y)^r = \sum_{k=0}^{+\infty} \binom{r}{k}x^{r-k}y^k\\ &\\ &donde\\ &\\ &\binom{r}{k}= \frac{r(r-1)(r-2)···(r-k+1)}{k!}\\ &\text {Y si k=0 vale 1}\\ &\\ &\\ &(1+2x^2)^{-2}=\binom{-2}{0}+\binom{-2}{1}2x^2+\binom{-2}{2}4x^4+\binom{-2}{3}8x^6+... =\\ &\\ &\\ &\binom{-2}{2}=\frac{(-2)(-3)}{2!}=3\;;\;\;\;\;\binom{-2}{3}=\frac{(-2)(-3)(-4)}{3!}=-4\\ &\\ &\\ &\\ &= 1 - 4x^2 + 12x^4- 32x^6+...\end{align}$$

Y eso es todo.