Ayuda con ejercicios
hola me gustaría saber si me pueden ayudar con estos ejercicios
1. Demostrar si el siguiente conjunto es o no equivalente
{3x+1 : x pertenece a los enteros} y {1-3y : y pertenece a los enteros}
2. Escribir en forma matematica
x= { números primos }
3. Mostrar que hay tantos números cuadrados como números naturales
Gracias por la ayuda.
1 respuesta
1) Son equivalentes
Sea A el primer conjunto y B el segundo
Para todo a € A existe x € Z tal que
a=3x+1
a=-3(-x)+1
llamando y=-x tenemos que y € Z y que se cumple
a = -3y +1
luego a € B
Esto dice que A esta incluido en B
Y análogamente se demuestra que B esta incluido en A, luego A=B
2) Esto puede ser expresado de varias formas aunque con este editor no quedará muy bien
X ={n € N-{1} | si m € N-{1} divide a n ==> m=n }
Esta creo que es la que queda más clara, de viva voz sería
X es el conjunto de los naturales menos el uno tales que si algún natural distinto de 1 divide a uno de ellos entonces ese divisor es el mismo número.
3) Podemos establecer una aplicación biyectiva f del conjunto de los naturales en el conjunto de los cuadrados de manera natural. A cada número natural le corresponde su cuadrado.
La aplicación es inyectiva ya que si dos elementos tienen la misma imagen
f(n) = f(m)
n^2 = m^2
n=m
Y es suprayectiva ya que dado un elemento c de los cuadrados será el cuadrado de algún número natural
c = n^2
entonces f(n) = c
Luego ambos conjuntos son biyectivos y se dice que hay tantos de unos como de los otros.
