Potencias de matrices

Pues habrá que hacer las multiplicaciones para ver como va saliendo

$$\begin{pmatrix}
0&a&0\\
0&0&c\\
b&0&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0&a&0\\
0&0&c\\
b&0&0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0&0&ac\\
bc&0&0\\
0&ab&0
\end{pmatrix}
\\
\begin{pmatrix}
0&0&ac\\
bc&0&0\\
0&ab&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0&a&0\\
0&0&c\\
b&0&0
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
abc&0&0\\
0&abc&0\\
0&0&abc
\end{pmatrix}$$

Ya está, tenemos que la matriz A^3 es diagonal con abc en la diagonal. A partir de aquí es todo muy sencillo

A^(3k) = (A^3)^k

Y una matriz diagonal elevada a una potencia es una matriz diagonal con los elementos de la diagonal elevados a esa potencia. Eso es fácil comprobarlo.

Luego el resultado es:

$$A^{3k}=\begin{pmatrix}
(abc)^k&0&0\\
0&(abc)^k&0\\
0&0&(abc)^k
\end{pmatrix}$$

Y eso es todo.