Álgebra Moderna-ejercicios

Un grupo cíclico esta generado por un solo elemento a

G = {a^0, a, a^2, a^3, ...., a^(n-1)} donde a^0=e

Mientras que Zn es

Zn = {0,1,2, n-1}

establecemos el isomorfismo f (supongo que habrá que usar notación inversa)

(ai)f = i para 0 <= i <= n-1

No cuesta nada ver que es una aplicación biyectiva

Veamos que

(xy)f = xf + yf

La operación en el grupo cíclico es

ai·aj = a sub [(i+j) mod n]

Y la operación en Zn es

x+y = (x+y) mod n

sea k = (i+j) mod n

<div>(ai·aj)f = (ak)f = k</div><div>(ai)f + (aj)f = i +j = (i+j) mod n = k</div><div>Luego es un isomorfismo.</div><div> </div><div> </div><div> </div><div>Sea G un grupo cíclico infinito generado por x</div><div>Establecemos el homomorfismo</div><div>

f: Z -----> G 
   n -----> x^n
  

Veamos que es un isomorfismo

(n+m)f = x^(n+m) = x^n·x^m = nf + mf luego es homomorfismo

Sea igual la imagen de dos elementos

x^n = x^m ==> n=m luego es monoformismo

Y para cada x^n € G existe n € Z tal que nf = x^n luego es epimorfismo

Luego es homomorfismo que cumple las propiedades inyectiva y suprayectiva y es un isomorfismo. Luego G y Z son isomorfos.

Y eso es todo.