Buenas noches. Limites
Tengo que desarrollar este limite:
(raíz sétima v(x^6+5x^4-3x+1))/(raíz sextav(x^5+4x^4-3)).
Yo para demostrar que tiende a infinito he cogido los radicandos de mayor exponente los he convertido a potencias y los he restado. Al ser mayor que 0 el limite tiende a 8. ¿esta ok? Hay alguna otra forma.
(raíz sétima v(x^6+5x^4-3x+1))/(raíz sextav(x^5+4x^4-3)).
Yo para demostrar que tiende a infinito he cogido los radicandos de mayor exponente los he convertido a potencias y los he restado. Al ser mayor que 0 el limite tiende a 8. ¿esta ok? Hay alguna otra forma.
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Si, está bien lo de tomar los radicandos de mayor exponente.
La demostración completa es un poco más larga sería multiplicar y dividir cada radicando por el término de mayor grado
(x^6 + 5x^4 - 3x + 1)^(1/7) =
[(x^6)(x^6+ 5x^4 - 3x +1)/(x^6)]^(1/7) =
[x^(6/7)] · (1 + 5/x^2 - 3/x^5 +1/x^6)^(1/7)
y haciendo lo mismo en el denominador
(x^5 + 4x^4 - 3)^(1/6) =
[(x^5)(x^5 + 4x^4 - 3) / (x^5)]^(1/6) =
[x^(5/6)] · (1+ 4/x - 3/x^5)^(1/6)
Ahora al tomar limites con x-->infinito los elementos con x en el denominador tenderán a cero y nos quedará
lim x-->infinito {[x^(6/7)] · (1 + 5/x^2 - 3/x^5 +1/x^6)^(1/7)} / {[x^(5/6)] · (1+ 4/x - 3/x^5)^(1/6)} =
lim x-->infinito de {x^(6/7) ·1} / {x^(5/6) ·1 =
lim x-->infinito de x^(6/7 - 5/6) =
lim x-->infinito de x ^ [(36-35)/42] =
Lím x --> infinito de x^(1/42) = infinito
Y esto es todo. De manera má informal se simplifica a lo que has hecho. Por lo tanto está OK lo que has hecho y lo único que he hecho ha sido el desarrollo completo para demostrar que lo que habías hecho está bien.
La demostración completa es un poco más larga sería multiplicar y dividir cada radicando por el término de mayor grado
(x^6 + 5x^4 - 3x + 1)^(1/7) =
[(x^6)(x^6+ 5x^4 - 3x +1)/(x^6)]^(1/7) =
[x^(6/7)] · (1 + 5/x^2 - 3/x^5 +1/x^6)^(1/7)
y haciendo lo mismo en el denominador
(x^5 + 4x^4 - 3)^(1/6) =
[(x^5)(x^5 + 4x^4 - 3) / (x^5)]^(1/6) =
[x^(5/6)] · (1+ 4/x - 3/x^5)^(1/6)
Ahora al tomar limites con x-->infinito los elementos con x en el denominador tenderán a cero y nos quedará
lim x-->infinito {[x^(6/7)] · (1 + 5/x^2 - 3/x^5 +1/x^6)^(1/7)} / {[x^(5/6)] · (1+ 4/x - 3/x^5)^(1/6)} =
lim x-->infinito de {x^(6/7) ·1} / {x^(5/6) ·1 =
lim x-->infinito de x^(6/7 - 5/6) =
lim x-->infinito de x ^ [(36-35)/42] =
Lím x --> infinito de x^(1/42) = infinito
Y esto es todo. De manera má informal se simplifica a lo que has hecho. Por lo tanto está OK lo que has hecho y lo único que he hecho ha sido el desarrollo completo para demostrar que lo que habías hecho está bien.
