Grupos Finitamente generados
Sea G={(a,b) e
ZxZ|a= b
mod10}. Pruebe que G está finitamente Generado. Encuentra una base de G.
1 Respuesta
Si a es congruente con b (mod 10) se verifica
a = b+10n con n€Z
o lo que es lo mismo
b = a + 10m con m € Z
Entonces el grupo es este
G={(a, a+10m) | a,m € Z}
Se comprueba que es un subgrupo.
Dados dos elementos r=(a, a+10m) , s=(b, b+10n)
r + s^(-1) = (a-b, a+10m-b-10n) = (a-b, a-b+10(m-n)) € G
Todo elemento de ese grupo se puede generar como suma finita de estos dos elementos y sus inversos y el elemento neutro. La base es esta
B = {(1,1) , (0,10)}
G = <(1,1), (0,10)>
Dado r=(a, a+10n) € G
r = a(1,1) + n(0,10)
Luego r será a veces la suma de (1,1) mas n veces la suma de (0,10)
Entendiéndose que si a es negativo nos referimos a la suma -a veces de (-1,-1) y que si n es negativo nos referimos a la suma -n veces de (0, -10)
