Cual es la respuesta a esta integral
$$2p?x^2v(1+4x^2)dx$$
evaluada en el intervalo de 0 a
$$v2$$
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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$$\begin{align}&\int x^2 \sqrt{1+4x^2}dx=\\ &\\ &2x = tgz\quad x = \frac{tgz}{2}\quad x^2=\frac{tg^2z}{4}\\ &\\ &dx = \frac{dz}{2cos^2z}\\ &\\ &\text{Recordar que }1+tg^2z=\frac{1}{\cos^2z}\\ &\\ &\\ &=\int \frac{tg^2z}{4}\sqrt{1+tg^2z} \frac{dz}{2cos^2z}=\\ &\\ &=\frac 18\int \frac{sen^2z}{\cos^6z}dz\end{align}$$Y esto se resuelve con el cambio tgz=t peo no es sencilla
Vamos a hacerla con el seno hiperbólico
$$\begin{align}&2\pi \int_0^{\sqrt 2}x^2 \sqrt{1+4x^2}dx=\\ &\\ &2x=sht;\quad x=\frac{sht}{2};\quad x^2=\frac{sh^2t}{4}\\ &\\ &dx=\frac{cht}{2}dt;\quad t=argsh(2x)\\ &\\ &x=0\implies t=0\\ &\\ &x=\sqrt 2\implies t =argsh(\sqrt 2)=ln(2 \sqrt 2 +3)\\ &\\ &\\ &=2\pi\int_0^{ln(3+2 \sqrt 2}\frac{sh^2t}{4}\sqrt{1+sh^2t}\frac{cht}{2}dt=\\ &\\ &\\ &\frac{\pi}{4}\int_0^{ln(3+2 \sqrt 2)}sh^2t·cht·cht\;dt=\\ &\\ &\\ &\frac{\pi}{4}\int_0^{ln(3+2 \sqrt 2)}(sht·cht)^2\;dt=\\ &\\ &\\ &\frac{\pi}{4}\int_0^{ln(3+2 \sqrt 2)}\left(\frac{sh\,2t}{2}\right)^2\;dt=\\ &\\ &\\ &\frac{\pi}{16}\int_0^{ln(3+2 \sqrt 2)} sh^2\,2t\;dt=\\ &\\ &\\ &\frac{\pi}{16}\int_0^{ln(3+2 \sqrt 2)} \frac{ch\,4t-1}{2}\;dt=\\ &\\ &\\ &\frac{\pi}{16}\left[\frac{sh \,4t}{8}-\frac t2 \right]_0^{ln(3+2 \sqrt 2)}=\\ &\\ &\\ &\left(\frac{sh\,[4ln(3+2 \sqrt 2)]}{128}-\frac{ln(3+2 \sqrt 2)}{32} \right)\pi\approx\\ &\\ &\\ &\\ &4.45271988087552\,\pi\end{align}$$Y eso es todo.
