Pregunta 2 de matemática 3
Hola valeroasm!
Parametrize la curva y: x+y=2*z^2, x^2+y^2=2z en un punto que se encuentra en la recta L:x=y=z
1 respuesta
No lo sé lo que supongo es que te piden que evalúes en 1,1,1; pero lo mas importante es parametrizar la curva
Elevamos la segunda al cuadrado
(x^2+y^2)^2 = 4z^2
[(x^2+y^2)^2] / 2 = 2z^2
Igualamos esta con la primera
x+y = [(x^2+y^2)^2] / 2
2x + 2y = x^4 + y^4 + 2x^2·y^2
No llegamos a nada, probemos de otra forma
La segunda es
x^2+y^2=2z
x^2 + y^2 + 2xy - 2xy = 2z
(x+y)^2 -2xy = 2z
como por la primera x+y = 2z^2 tenemos
4z^4 - 2xy = 2z
xy = 2z^4 - z
Si le damos un valor t a z tenemos este sistema
xy= 2t^4-t
x+y=2t^2
despejamos x en la primera
x = (2t^4-t)/y
y lo llevamos a la segunda
(2t^4-t)/y + y = 2t^2
(2t^4-t) + y^2 = 2yt^2
y^2 - 2yt^2 +(2t^4-t) = 0
y = [2t^2 +- sqrt(4t^4 -8t^4 +4t)] / 2 =
[2t^2 +- sqrt(4t-4t^2)] /2 =
t^2 +- sqrt(t-t^2)
Y por tanto x será
x = (2t^4-t) / [t^2 +- sqrt(t-t^2)]
Luego la curva sería la unión de dos ramas
x(t) = (2t^4-t) / [t^2 +sqrt(t-t^2)]
y(t) = t^2 + sqrt(t-t^2)
z(t) = t
y la otra rama
x(t) = (2t^4-t) / [t^2 - sqrt(t-t^2)]
y(t) = t^2 - sqrt(t-t^2)
z(t) = t
Y eso es todo. La verdad es que para resolver estos problemas sería muy conveniente el libro de donde han salido. Puede ser que allí expliquen parametrizaciones con funciones trigonométricas que den un resultado más vistoso.
