¿Me puedes ayudar con este ejercicio de integral definida?

Es bastante sencilla casi inmediata

$$\begin{align}&\int_0^1 \frac{z}{(z^2+1)^3}\,\mathrm{d}z =\\ &\\ &t= z^2+1 \quad dt=2zdz\quad zdz = \frac{dt}{2}\\ &z=0\implies t=1\\ &z=1\implies t=2\\ &\\ &\\ &= \frac 12\int_1^2 \frac{dt}{t^3}= \frac 12 \int_1^2t^{-3}dt =\\ &\\ &\frac 12 \left[\frac{t^{-2}}{-2}  \right]_1^2=-\frac 14 \left[\frac{1}{t^2}  \right]_1^2=\\ &\\ &\\ &-\frac 14\left(\frac 14 - 1  \right)= -\frac 14·\frac{-3}{4}= \frac {3}{16}\end{align}$$

Y eso es todo.