Una transformación lineal
Hola amigo, tras tu excelente respuesta me creaste nueva duda. Yo no pude con este ejercicio y saldrá uno parecido en el final, te agradezco mucho si lo resuelves y me explicas cómo debería empezar este tipo de ejercicio
Sea L: R2->R3 definida como
L = |x| = |x-2y|
|y| |2x+y| -> espacio en blanco, continúa la matirz, es decir es de 3 filas
|x+y|
Sean S y T las bases
canónicas de R2 Y R3, respectivamente. Además sean
SI = | |1| , |0| |
| |-1| |-1| | -> igualmente, aquí cada una es de 2x1
y
TI = | |1|, |0|, |1| | aquí igualmente
| |1| |1| |-1| |
| |0| |1| |1| |
Bases para R2 Y R3, Respectivamente.
Determine la matriz que representa a L con respecto a
a) S y T
b) SIy TI
c)Calcule L Utilizando la definición de L y las matrices obtenidas en (a) y (b)
1 respuesta
a)
Para calcular la matriz respecto a S y T tenemos que tomar los elementos de S y calcular su imagen respecto a T. Las coordenadas de estas imágenes puestas por columnas son la matriz. Veamos:
S={(1,0), (0,1)}
L((1,0)) = (1, 2, 1)
L((0,1)) = (-2, 1, 1)
La matriz de la aplicación lineal respecto a S y T es
|1 -2|
|2 1|
|1 1|
b)
Y con respecto a SI y TI hacemos lo mismo
L((1,0)) = (1, 2, 1)
L((-1,-1)= (-1-2(-1), 2(-1)+(-1), (-1)+(-1)) = (1, -3, -2)
Ahora tenemos que representar esas imágenes en función de la base TI
a(1, 0, 1) + b(1, 1, -1) + c(0, 1, 1) = (1, 2, 1)
Y tenemos estas tres ecuaciones
a + b = 1
b + c = 2
a - b + c = 1
No se resuelven inmediatamente usemos el método matricial de resolver aunque con este editor da mala gana usarlo.
1 1 0 | 1 0 1 1 | 2 1 -1 1 | 1 1 1 0 | 1 0 1 1 | 2 0 -2 1 | 0 1 1 0 | 1 0 1 1 | 2 0 0 3 | 4
c=4/3
b=2/3
a=1/3
Luego (1/3, 2/3, 4/3) son las coordenadas que buscamos
Y ahora buscamos las coordenadas de (1,-3,-2). Las ecuaciones son iguales salvo laq columnas de resultados
1 1 0 | 1 0 1 1 |-3 1 -1 1 |-2 1 1 0 | 1 0 1 1 |-3 0 -2 1 |-3 1 1 0 | 1 0 1 1 |-3 0 0 3 |-9
c=-3
b=0
a=1
Las coordenadas respecto a TI de la imagen del segundo elemento de SI son
(1, 0, -3)
Y la matriz de la aplicación respecto SI y TI es:
|1/3 1|
|2/3 0|
|4/3 -3|
c) No entiendo muy bien qué quiere decir esta parte
Supongo que es calcular L((x, y))
Con respecto a S y T
|1 -2| |x| |x-2y| |2 1| X |y| = |2x+y| |1 1| |x+y |
Con respecto a SI y TI
Sea (x,y) € R2
a(1, 0) + b(-1, -1) = (x,y)
a - b = x
-b = y
Luego
b=-y
a+y= x
a = x-y
En la base SI tiene coordenadas (x+y, -y)
|1/3 1| |x-y| | (x-y)/3-y | |2/3 0| X |-y | = | 2(x-y)/3 | |4/3 -3| |4(x-y)/3+3y|
Y ahora cada una de esas por el elemento de la base
[(x-y)/3-y] (1, 0, 1)T + [2(x-y)/3] (1, 1, -1) T + [4(x-y)/3+3y](0, 1, 1)T =
La T significa transpuesto, lo que pasa que con este editor es muy pesado ponerlo como columnas, por eso lo escribo como fila.
Primera columna = (x-y)/3 - y + 2(x-y)/3 = x -y -y = x-2y
Segunda columna = 2(x-y)/3 + 4(x-y)/3 +3y = 2x-2y+3y = 2x+y
Tercera columna = (x-y)/3 - y -2(x-y)/3 +4(x-y)/3 + 3y =x-y-y +3y = x+y
Y se ve que la función lineal obtenida tanto con una como con la otra base es la función lineal L que nos daban.
Y eso es todo.
