Pregunta de elipses

La superficie cónica contiene rectas llamadas generatrices, cada una pasa por el vértice y por un punto de la elipse directriz.

Dada una generatriz sea (a, b, c) el punto de corte con la directriz. La ecuación de la generatriz es:

(x-1) / (a-1) = (y-2) / (b-2) = (z-1) / (c-1)

Por ser (a, b, c) de la elipse podemos inmediatamente sustituir c por 0 y tras operar algo queda:

(x-1) / (a-1) = (y-2) / (b-2) = 1-z

Ahora despejamos a y b usando el termino donde aparecen y el tercero

(x-1) / (a-1) = 1-z

a = 1 + (x-1)/(1-z)

b = 2 + (y-2)/(1-z)

Estos valores los sustituimos en la ecuación de la elipse

25a^2 + 4b^2 - 100 = 0

25[1 + (x-1)/(1-z)]^2 + 4[2 + (y-2)/(1-z)]^2 - 100 = 0

Y ahora es cuestión de operar y operar, lo haré algo rápido

25[(x-z)/(1-z)]^2 + 4[(y-2z)/(1-z)]^2 - 100 = 0

25x^2 + 25z^2 - 50xz + 4y^2 + 16z^2 -16yz - 100 - 100z^2 + 200z = 0

25x^2 + 4y^2 - 59z^2 - 50xz - 16yz + 200z - 100 = 0

Espero no haberme equivocado. Voy a hacer algunas comprobaciones.

Pasa por el vértice (1,2,1)

25 +16 - 59 - 50 -32 + 200 - 100 = 0 ¡Bien!

Y si z=0 queda

25x^2 + 4y^2 -100 = 0 que es la elipse directriz. ¡Bien!

Luego eso es todo.