Calculo 1- hallar el limite

La definición del número e es

$$\begin{align}&\lim_{n \to +\infty}\left(1+\frac 1n\right)^n\\ &\end{align}$$

Pero en lugar de n se puede poner cualquier función que tienda a infinito.

Vamos a dejar el límite igual, pero puesto de tal forma que aparezca el número e dentro

$$\begin{align}&\left(1 + \frac ax  \right)^{bx}=\left(1 + \frac{1}{\frac xa}  \right)^{bx}=\\ &\\ &\\ &\left(1 + \frac{1}{\frac xa}  \right)^{\frac xa ba}=\left[\left(1 + \frac{1}{\frac xa}  \right)^{\frac xa}\right]^{ ba}\\ &\\ &\text{y tomando límites}\\ &\\ &\lim_{x \to \infty}\left[\left(1 + \frac{1}{\frac xa}  \right)^{\frac xa}\right]^{ ba} =  \\ &\\ &\\ &\lim_{\frac xa \to \infty}\left[\left(1 + \frac{1}{\frac xa}  \right)^{\frac xa}\right]^{ ba} = e^{ba}\end{align}$$

En realidad se ahorran bastantes pasos al resolverlo, pero los he puesto todos para hacerlo con rigor.