Problema 17, página 64 Adler

Probar o refutar: existe un primo p >5 tal que ni p^2-1 ni p^2+1 son múltiplos de 10.

Si comprobamos un poco vemos

7^2+1 = 50

11^2-1 = 120

13^2+1 = 170

17^2+1 = 290

19^2-1 = 361

Hagamos lo típico, ver como son los restos de los cuadrados módulo 10

0^2 ~: 0 (mod 10)

1^2 ~: 1 (mod 10)

2^2 ~: 4 (mod 10)

3^2 ~: 9 (mod 10)

4^2 ~: 6 (mod 10)

5^2 ~: 5 (mod 10)

6^2 ~: 6 (mos 10)

7^2 ~: 9 (mod 10)

8^2 ~: 4 (mod 10)

9^2 ~:1 (mod 10)

Y como ya hemos visto en ejercicios anteriores esas son todas las congruencias de cuadrados módulo 10, para el resto de los números se da la misma que la del congruente correspondiente comprendido entre 0 y 9

Como p es primo mayor que 5 no puede ser par, luego el congruente módulo 10 comprendido entre 0 y 9 no puede ser 0,2,4,6,8.

El congruente módulo 10 de p entre 0 y 9 tampoco puede ser 5, ya que entonces sería múltiplo de 5 tal como 15,25, etc

Entonces el congruente correspondiente es 1,3,7, o 9

Pero fijémonos,

Si p ~:1 (mod 10) ==> p^2 ~: 1 (mod 10) ==> p^2-1 ~: 0 (mod 10)

Si p ~: 3 (mod 10) ==> p^2 ~: 9 (mod 10) ==> p^2+1 ~: 10 ~: 0 (mod 10)

Si p ~: 7 (mod 10) ==> p^2 ~: 9 (mod 10) ==> p^2+1 ~: 10 ~: 0 ( mod 10)

Si p ~: 9 (mod 10) ==> p^2 ~: 1 (mod 10) ==> p^2 -1 ~: 0 (mod 10)

Luego se confirma lo que parecía ser, que todo primo mayor que 5 al cuadrado, bien sea sumándole o restándole 1 se obtiene un múltiplo 10

Entonces la respuesta es que refutamos que exista ese primo.

Aunque he hecho la tabla de congruencias de cuadrados no hubiera hecho falta en este problema.

Y eso es todo.