Calculo Diferencial: Problemas de Optimización

Sea a=anchura, h=altura

La superficie total es

A = ah

y la superficie impresa es

I = (a-4)(h-2) = 32

Despejemos a en esta igualdad

a-4 = 32/(h-2)

a = 32/(h-2) + 4

Y lo llevamos a la función del área total

A(h) = [32/(h-2) + 4]h = 32h/(h-2) +4h

La derivamos para hallar el mínimo

$$\begin{align}&A´(h)=\frac{32(h-2)-32h}{(h-2)^2}+4=\\ &\\ &\frac{32h -64 -32h}{(h-2)^2}+4 =\\ &\\ &\frac{-64}{(h-2)^2}+4 =0\\ &\\ &-64+4(h-2)^2 = 0\\ &\\ &4(h-2)^2 = 64\\ &\\ &(h-2)^2 = 16\\ &\\ &h-2 = 4\\ &\\ &h = 6\end{align}$$

Y la anchura la calculamos en la igualdad donde estaba despejada

a= 32/(6-2) + 4 = 8+4 = 12

Luego la hoja debe medir 12 de anchura y 6 de altura

Y eso es todo.