Espacio vectorial sobre R
Sean v,w_1 y w_2?R^3 espacio vectorial sobre R demuestra que si v es perpendicular a w_1 y w_2, entonces es perpendicular a cualquier combinación lineal de ellos dos.
1 Respuesta
Ser perpendicular significa que el producto escalar es 0
Sean
v = (xo,yo,zo)
w_1 = (x1,y1,z1)
w_2 = (x2,y2,z2)
Usaré asterisco para el producto vectorial para que no se confunda con el producto normal.
Por la perpendicularidad que nos dicen tenemos estas dos igualdades
v * w1 = xo·x1 + yo·y1 + zo·z1 = 0
v * w2 = xo·x2 + yo·y2 + zo·z2 = 0
Ahora calculamos el producto escalar de v con una combinación lineal de w1 y w2.
(xo,yo,zo) * [a(x1,y1,z1)+b(x2,y2,z2)] =
Por las propiedades de la suma de vectores y producto por un elemento del cuerpo tenemos
(xo,yo,zo) * (ax1+bx2, ay1+by2, az1+bz2) =
xo(ax1+bx2) + yo(ay1+by2) + zo(az1+bz2) =
a·xo·x1 + b·xo·x2 + a·yo·y1 + a·yo·y2 + a·zo·z1 + a·zo·z2 =
a(xo·x1+yo·y1+zo·z1) + b(xo·x2+yo·y2+zo·z2) =
a(v * w1) + b(v * x2) = a·0 + b·0 = 0
Luego el vector es perpendicular a la combinación lineal de w1 y w2.
Y eso es todo.
