¿Cómo puedo resolver este ejercicios?
intente hacerlo pero no creo que este bien. EL EJERCICIO DICE ASI :obtener la ecuación de la CIRCUNFERENCIA tangente a la recta 3x +2y-10=0 EN (2,2)Y también tangente a la recta x+2y-3== EN (3,5).
según yo debo sacar el punto medio de los 2 puntos y la pendiente para sacar la ecuación pero no se si debo aplicar la inversa.
1 respuesta
Debes tener en cuenta que la tangente a una circunferencia y el radio al punto de tangencia son perpendiculares, Con los datos que te dan puedes formar las rectas de dos radios, y allí donde se junten estará en centro.
Dada la ecuación de una recta en la forma
Ax+By+C = 0
Su vector director es (B, -A)
Y si tomas la recta
Bx - Ay +D = 0
Su vector es (-A, -B)
Y el producto vectorial de ambos es
(B, -A) · (-A, B) = -AB + AB = 0
luego son perpendiculares.
Asi la perpendicular a 3x + 2y - 10 = 0 es
2x - 3y + D = 0
para que pase por (2,2)
4 - 6 + D = 0
D = 2
luego la perpendicular que pasa por (2,2) es
2x - 3y + 2 = 0
Y para la otra recta x+2y-3=0 la perpendicular es
2x-y+D = 0
como debe pasar por (3,5)
6-5+D = 0
D=-1
luego la perpendicular por (3,5) es
2x-y -1 = 0
Ahora resolvemos el sistema para encontrar el punto de corte que es el centro de la circunferencia
2x - 3y + 2 = 0
2x-y -1 = 0
restamos la segunda a la primera
-2y +3 = 0
y = 3/2
y ahora calculamos x
2x - 3/2 -1 = 0
2x = 5/2
x= 5/4
ESPERA; HE REPASADO los datos por si acaso estaba equivocado y veo que el punto (3,5) no está en la recta x+2y-3=0 Luego debe haber algún fallo en el enunciado, revísalo y me dices.
si tiene razón había un error en el enunciado perdón es asi :obtener la ecuación de la CIRCUNFERENCIA tangente a la recta 3x +2y-10=0 EN (2,2)Y también tangente a la recta x+2y-13= EN (3,5).
Pese a todo, las cuentas hechas hasta el momento sirven ya que la perpendicular a la recta que había al principio es la misma que a la corregida.
Entonces si la circunferencia existe, tendrá ese centro.
(5/4, 3/2)
¿Por qué digo si existe? Porque puede no existir, hemos puesto cuatro condiciones a la circunferencia. El ser tangente a una recta es una condición pero el ser tangente en un punto determinado son dos, luego hay cuatro condiciones y una circunferencia necesita tres. Si la cuarta no es compatible con las tres anteriores no hay circunferencia.
(5/4, 3/2)
Veamos la distancia (al cuadrado) de los dos puntos conocidos al centro
(2-5/4)^2 + (2-3/2)^2 = (3/4)^2 + (1/2)^2 = 9/16 + 1/4 = 13/16
(3-5/4)^2 + (5-3/2)^2 = (7/4)^2 + (7/2)^2 = 49/16 + 49/4 = 245/16
Luego no es el centro y no hay circunferencia que cumpla las condiciones, eran muchas. Si no nos hubiesen dicho el punto de tangencia en alguna recta si que sería posible.
