Duda al definir función matemática
Buenas. Verán, me dan este ejercicio:
1. Sea f(x)= |x| /x:
a) Defina f(x), sin barras, en los intervalos (- *infinito* , 0), (0, + *infinito*).
b) Demuestre gráficamente la respuesta anterior (a).
c) A partir de la gráfica trazada en b), diga si la función es par, impar o ninguno de estos dos tipos.
d) Confirme analíticamente la respuesta a c) a partir de la ecuación dada.
Ya miré la resolución del ejercicio de ejemplo (f(x) = |x+3| - |x-3| ) , donde en a) se definía la función en cada "miembro" y, teniendo en cuenta los intervalos para los que debía definirse f(x), se hacía una especie de ecuación que daba como resultado el valor de la función en cada uno de ellos. Sin embargo, en este caso no sé qué hacer con esta función ya desde el principio. Se supone que x está definida para todo R, ¿no? Entonces no sé de qué forma hacer para sacar la ecuación o averiguar su valor.
Agradecería que me explicaran con términos más bien sencillos, ya que estoy estudiando matemáticas por mi cuenta y mis conocimientos son algo básicos (las estudié hasta Bachillerato en la rama de CC. Sociales y nunca se me dieron muy bien, y ahora me dio curiosidad por estudiarlas de nuevo aunque lo que estudio en la universidad no tenga nada que ver). Sobre todo me interesa el apartado a) -en principio-, ya que el resto los entiendo.
De camino, se pudieran ponerme algún otro ejemplo de este tipo de ejercicio con funciones valor absoluto que se resuelvan de igual forma que este... Sería muy bueno también.
Bueno, gracias y un saludo.
PD: como ven, no pude insertar el símbolo de "infinito" (lo copié varias veces de Word pero, al publicar la pregunta, salía un "8"). Disculpen por eso.
1 Respuesta
La función está definida para todo R salvo el cero, porque la división por cero no está definida. Fijate que nos piden definir la función en los intervalos (-infinito, 0) y (0, +infinito), el 0 no entra en ninguno de ellos.
Respecto a los símbolos la mayoría de los que puedas pegar no van a funcionar, son muy poquitos los que se ven, lo mejor es usar lo que puedas escribir con el teclado.
a)
En el intervalo (-infinito, 0)
Aqui x es negativa, luego |x| = -x
y entonces
f(x) = -x / x = -1
En el intervalo (0,+infinito)
Aqui x es positiva, luego el valor absoluto es x
f(x) = x/x = 1
b)
Es un poco fuerte lo de "demuestre gráficamente", la autentica demostración es la que hemos hecho en el apartado a y lo que podemos hacer es dibujar la función, no hay nada nuevo que demostrar.
Simplemente entre -infinito y cero es una línea horizontal a la altura del -1 y entre cero y + infinito la línea horizontal pero con la altura en 1. En el cero no hay nada.
c) Es una función impar porque es simétrica respecto del punto (0,0)
d) Analíticamente una función impar es la que verifica
f(-x) = - f(x) para todo x € Dom f
Si x>0 se verifica
f(x) = 1
f(-x) = -1
luego f(-x) = -f(x)
Si x<0 se verifica
f(x) = -1
f(-x) = 1
luego f(-x) = -(-1) = -f(x)
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Pues ejercicio parecido de valores absolutos que se resuelva de la misma forma solo se me ocurre que hagas el mismo con la función f(x) = |x+1| / (x+1)
Y algo distinto que resuelvas las inecuación
|x-2| > 5
|x^2-5| < x
Y eso es todo.
Wow, ¡muchas gracias! Ahora sí que vi claro este ejercicio. Una respuesta muy completa y explicada con sencillez, sí señor :)
