Álgebra de Límites
Sean las sucesiones a(n),n=1 hasta infinito y b(n),n=1 hasta infinito, tales que a(n) es acotada y b(n) convergente a cero. Demuestre que el límite cuando n tiende a infinito de a(n).b(n) = 0 ME URGE LA REPUESTA por favor.
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Por ser b(n) convergente a 0 tendremos que para todo epsilon>0 existe un N tal que si n>N se cumple
|b(n)| < epsilon
Sea K la cota de |a(n)|
Entonces para probar que a(n)·b(n) converge a 0 haremos lo siguiente, para el épsilon que nos den tomaremos el valor epsilon/K y existirá un N tal que si n>N se cumple
|b(n)| < epsilon/K
entonces como |a(n)| <= K tendremos
|a(n)·b(n)-0| = |a(n)|·|b(n)| <= K|b(n)| < K(epsilon/K) = epsilon
Luego
|a(n)·b(n)-0| < epsilon para todo n>N
Y por lo tanto lim n-->oo de a(n)·b(n) = 0
Y eso es todo.
