Otro de polinomios
Hola experto le mando este ejercicio para ver si me lo puede mirar:
Factoriza el polinomio x^3 - 1 y resuelve la inecuación x^3 - 1 >= 0.
Me da al factorizarlo:
(x^2 + x +1) ( x-1) ya que no se puede factorizar más y al resolver la inecuación me da : [1 , + infinito].
Muchas gracias.
1 respuesta
Si, esa es la descomposición factorial de ese polinomio. Se trata de un polinomio especial que se llama ciclotómico. Aunque no me lo pidas te voy a dar un "producto notable" relativo a estos polinomios.
$$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+ab^{n-2}+b^{n-1})$$Pero bueno, lo habrás hecho por Ruffini y el resultado es ese.
Entonces la inecuación será:
(x^3-1) >=0
(x^2+x+1)(x+1)>0
El primer factor x^2+x+1 es siempre positivo ya que no tiene raíces (cortes con el eje X) y dado cualquier punto x=0 por ejemplo el valor es positivo.
Luego podemos pasarlo al otro lado sin que cambie el sentido de la desigualdad, como en el otro lado se multiplica por cero lo que queda es:
x+1 > 0
x>1
Luego la solución es (1, +oo)
El razonamiento del " se multiplica por cero" se puede expresar de otras formas, también se puede decir de que al ser un factor siempre positivo el signo del producto depende solo del signo del otro factor.
Y eso es todo.
Buenas noches experto al resolver la inecuación entonces sería : [1, + infinito) incluyendo el 1, no?
Gracias
Si, el uno está incluido, se me olvidó poner el signo = una vez y de ahí en adelante ya no lo puse.
Pero espera que tuve otro despiste y puse (x+1), y luego pasé un término mal al otro lado una vez. Una chapuza total, ahora lo hago todo de nuevo
(x^3-1) >=0
(x^2+x+1)(x-1) >= 0
x-1 >= 0
x >= 1
x € [1, +oo)
Ahora está bien.
