¿Cuál es la integral definida arriba 1 y abajo 0, de e a al (-1/ xequis) dividido xequis a la 3?
hola tengo una duda sobre esta integral, creo que es impropia, es la integral definida entre 0 y 1 de e a la( x a la -1), todo sobre x a la 3
-1/x
e
----------, algo asi pero con la integral definida ,arriba 1 abajo 0
3
x
sugerencia hacer t = -1/x
hace unos días que trato de hacerla y no me sale, me gustaría que me puedan ayudar, desde ya muchas gracias
1 respuesta
En lo que nos interesa¡Hola Romip7!
¡Enhorabuena por el Papa!
Es una integral un poco rara porque en x=0 tiene límites distintos por la derecha y la izquierda
Haciendo el cambio de variable y = 1/x en el cálculo del límite tendremos
$$\begin{align}&\lim_{x \to 0_-}\frac{e^{-1/x}}{x^3}=\lim_{y \to -\infty}e^{-y}y^3=\lim_{y \to -\infty}\frac{y^3}{e^y}=-\infty\\ &\\ &\\ &\lim_{x \to 0_+}\frac{e^{-1/x}}{x^3}=\lim_{y \to +\infty}e^{-y}y^3=\lim_{y \to +\infty}\frac{y^3}{e^y}=0\end{align}$$En lo que nos interesa, el intervalo (0,1] está a la derecha de 0 y la función está definida y
Acotada, luego no es una integral impropia.
Y ahora intentaremos resolver la integral con ese cambio que dices
$$\begin{align}&\int_0^1 \frac{e^{-\frac 1x}}{x^3}dx=\\ &\\ &\\ &t= -\frac 1x \quad dt =\frac{dx}{x^2}\\ &\\ &x=0_+ \implies t = -\infty\\ &\\ &x=1 \implies t =-1\\ &\\ &\\ &\\ &=\int_{-\infty}^{-1}e^t(-t)dt=-\int_{-\infty}^{-1}te^tdt=\\ &\\ &\text{Hagamos aparte la integral indefinida}\\ &\text{que es mucho lio arrastrar los límites}\\ &\\ &u = t\implies du=dt\\ &dv=e^tdt\implies v=e^t\\ &\\ &te^t-\int e^tdt= te^t-e^t = e^t(t-1)\\ &\\ &\text{y la integral definida es}\\ &-\left[e^t(t-1) \right]_{-\infty}^{-1}=\\ &\\ &2e^{-1}+\lim_{t\to -\infty}e^t(t-1)=\\ &\\ &\frac 2e+ \lim_{t\to +\infty}\frac{t-1}{e^t}= \frac 2e+0=\\ &\\ &\\ &\frac 2e\approx0.7357588823\end{align}$$Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame.
hola, entendí todo muy bien, disculpa las molestias pero solo me quedo una duda que es la siguiente: por que la integral definida hay que evaluarla en -1 y - 00 (menos infinito) y no en 1 y 0 ? y otra cosita también yo creía que era impropia porque estábamos viendo ese tema, ¿como me doy cuenta que es o no impropia? muchas gracias
Cuando hacemos un cambio de variable los límites de integración también deben cambiar para representar los límites de la nueva variable. Para ello se toman los antiguos en x y se calculan los correspondientes a t
Los límites en x eran 0 y 1
En cambio era
t = - 1 / x
luego los límites en t son
para x=0 ==> t = -1/0
Como x es siempre positivo se considera el límite cuando x tiende a 0+ y ese límite es -oo
Para x=1 ==> t =-1/1 = -1
Asi los nuevos límites son -oo y -1.
En un principio no era impropia la integral, por eso lo escribí. Se hace impropia tras ese cambio de variable ya que uno de los límites de integración es -oo.
Y eso es todo.
