Estadística matemática con aplicaciones 5.128

Nuevas preguntas y nuevos estudios que tengo que hacer. Ya hace días que contesté lo que sabía de estadística y estoy como un estudiante más pero sin asistir a clase, que se nota mucho la diderencia de aprender con el profesor a coger el libro.

Este problema lo veo muy enrevesado, la verdad y es muy difícil escribirlo aquí donde la anchura esta muy limitida.

La distribución márginal de Y1 será la integral entre -inf y +inf del monstruo que puedes ver en la página 284 integrada respecto a y2

Fuera de la integral debemos dejar esta constante

$$\frac{1}{\sigma_1 \sqrt{2 \pi}}e^{-\frac 12 \left( \frac{y_1-\mu_1}{\sigma_1}\right)^2}$$

lo cual sería la normal que nos dicen. Entonces hay que demostrar que la integral que queda es 1.

Y la integral que queda es

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{-P/2}dy_2}{\sigma_2 \sqrt{1-p^2}\sqrt{2 \pi}}$$

Y este P será el Q que aparece en el libro quitándole lo que ya hemos sacado fuera de la intregral

$$P = Q-\frac{(y_1-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}$$

Bueno, no sé que tal va a quedar esto pero lo intentamos:

$$\begin{align}&P=\frac{1}{1-\rho^2}\left[\frac{(y_1-\mu_1)^2}{\sigma_1^2 }-2 \rho \frac{(y_1-\mu_1)(y_2-\mu_2)}{\sigma_1 \sigma_2}+\frac{(y_2-\mu_2)^2}{\sigma_2^2 }\right]-\left[\frac{(y_1-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}  \right]\frac{1-\rho^2}{1- \rho^2}=\\ &\\ &\\ &\\ &P=\frac{1}{1-\rho^2}\left[\frac{\rho^2(y_1-\mu_1)^2}{\sigma_1^2 }-2 \rho \frac{(y_1-\mu_1)(y_2-\mu_2)}{\sigma_1 \sigma_2}+\frac{(y_2-\mu_2)^2}{\sigma_2^2 }\right] =\\ &\\ &\\ &\frac{1}{1-\rho^2}\left[ \frac{y_2-\mu_2}{\sigma_2}-\frac{\rho(y_1-\mu_1)}{\sigma_1} \right ]^2 =\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\left[\frac{y_2-\mu_2 - \frac{\rho\, \sigma_2(y_1-u_1)}{\sigma_1}}{\sigma_2 \sqrt{1-\rho^2}} \right]^2\end{align}$$

Bueno, si ponemos eso en la integral y las otras cosas que faltan nos va a quedar de exponente del número e el -1/2 de un cuadrado de una fracción. Lo que va detras de y2 será una media cualquiera y el denominador del exponente es la desviación estandar

Que comprobamos que coincide con lo que aparece acompañando a la raíz de 2Pi en el denominador de la integral.

Luego la función que hay en el integrando es una función de densidad de una distribución normal y su integral entre -infinito y +infinito es 1.

Con eso queda que la función de densidad marginal es esta normal:

$$\frac{1}{\sigma_1 \sqrt{2 \pi}}e^{-\frac 12 \left( \frac{y_1-\mu_1}{\sigma_1}\right)^2}$$

b) Las variables Y1 e Y2 tienen idénticos papeles, nada las diferencia, podemos intercambiarlas uy por tanto la función de densidad marginal de Y2 es una normal com media mu sub 2 y desviación sigma sub 2.

Y eso es todo.