Problema de Cálculo Integral (Sacar inversa)
Hola Valero...
$$f(x)=x^5+4x-3$$
a) Determine si existe la inversa en su dominio.
b) Si no existe, restrinja el dominio para que si exista.
c) Halle f^-1(x), si es posible.
d) Halle el dominio y el rango de f y f^-1
Espero tu gran ayuda
1 respuesta
a) Una función continua es inyectiva si es estrictamente creciente o estrictamente decreciente en todo su dominio.
Para comprobar eso examinaremos el signo de la derivada
f '(x) = 5x^4 + 4
Es una función siempre positiva, luego la función f(x) es siempre creciente y la función es inyectiva y tiene inversa en todo su dominio.
b) No es necesario restringirla.
c) Habría que ser Gauss o Euler y ni aun así a lo mejor. No existe un método general para resolver ecuaciones de grado 5 o superior.
d) El dominio de f es R, todo polinomio está definido en todo R.
El rango también es todo R ya que el límite en -oo es -oo y en +oo es +oo y una función continua (los polinomios lo son) toma todos los valores intermedios entre dos.
Y el dominio de f^-1 es el rango de f y en el rango de f^-1 es el dominio de f, luego tanto uno como otro son R.
Y eso es todo.
