Estadística matemática con aplicaciones ...cap de estimación

Sabemos que una exponencial de parámetro lambda es esta

f(y) = lambda · e^(-lambda·x)

Y tiene por esperanza 1 / lambda

En esta el parámetro es 1 / theta

Luego la esperanza es theta

E(Y1) = theta luego es insesgado.

E[(Y1+Y2)/2] = (1/2)E(Y1) + (1/2)E(Y2) = (1/2)theta + (1/2)theta = theta

E[(Y1+2Y2)/3] =(1/3)E(Y1)+(2/3)E(Y2) = (1/3+2/3)theta = theta

E[Min(Y1,Y2,Y3)] = E(una cualquiera de ellas) = theta

E[(Y1+Y2+Y3)/3] = (1/3)theta+(1/3)theta+(1/3)theta = theta

Me sale que son todos insesgados.

Y la varianza de la exponencial es 1 / lambda^2

luego la varianza de Y1, Y2 e Y3 es theta^2

V(Y1) = theta^2

V[(Y1+Y2)/2] = (1/4)V(Y1+Y2) = (1/4)[V(Y1)+V(Y2)] = (1/2)theta^2

V[(Y1+2Y2)/3] = (1/9)V(Y1+2Y2) = (1/9)[V(Y1)+4V(Y2)] =(5/9)theta^2

V[min(Y1,Y2,Y3)] = theta^2

V[(Y1+Y2+Y3)/3] = (1/9)[V(Y1)+V(Y2)+V(Y3)] = (1/3)theta^2

Luego la varianza más pequeña es (1/3)theta^2 es la que corresponde a tomar la media como estimador de theta.

Y eso es todo.