Estadística matemática con aplicaciones 5.63

Carito 1557

5.63)

El parámetro lambda de la distribución es el inverso de la media, luego es 1

Como son independientes la función de densidad conjunta es el producto de las marginales

$$f(y_1,y_2) = e^{-y_1-y_2}; \;0 \le y_1,y_2 \lt +\infty, \;0\text{ en el resto}$$

La probabilidad condicionada ya sabemos que es la probabilidad de la intersección entre la del que condiciona.

Para calcular los límites si hacemos variar y1 en [0, +infinito] entonces y2 variará en [(y1)/2, y1]

de la intersección

$$\begin{align}&P(Y_1 \gt Y_2, \;Y_1 \lt 2Y_2) = \int_0^{+\infty}\int_{y_1/2}^{y_1}e^{-y_1-y_2}dy_2dy_1=\\ &\\ &\\ &\int_0^{+\infty}\left[-e^{-y_1-y_2} \right]_{y_1/2}^{y_1}dy_1=\int_0^{+\infty} (e^{-3y_1/2}-e^{-2y_1})dy_1 =\\ &\\ &\\ &\left[-\frac 23e^{-3y_1/2}+ \frac 12e^{-2y_1} \right]_0^{+\infty}=\frac 23 -\frac 12= 1/6\end{align}$$

Y los límites de lo que va a ser la probabilidad del denominador son

y1 variando en [0, +infinito) e y2 en [(y1)/2, + infinito)

$$\begin{align}&P(Y_1 \lt 2Y_2) = \int_0^{+\infty}\int_{y_1/2}^{+\infty}e^{-y_1-y_2}dy_2dy_1=\\ &\\ &\\ &\int_0^{+\infty}\left[-e^{-y_1-y_2} \right]_{y_1/2}^{+\infty}dy_1=\int_0^{+\infty} (e^{-3y_1/2})dy_1 =\\ &\\ &\\ &\left[-\frac 23e^{-3y_1/2} \right]_0^{+\infty}=\frac 23\end{align}$$

Y ya solo queda hacer el cociente para obtener la probabilidad condicionada que nos piden

P(...|...) = (1/6) / (2/3) = 3/12 = 1/4

Y eso es todo.