Álgebra abstracta de fraleigh 4

6.10)

El teorema 6.2 página 58 dice que un subgrupo de un grupo cíclico es cíclico.

Luego para todo subgrupo H <= G existe un elemento a^s € G tal que H = <a^s> y con ese solo elemento se puede generar el subgrupo no se necesitan otros.

Y luego aplicamos el teorema 6.4 página 62 que dice:

Sea G un grupo cíclico con n elementos generado por a. Sea b€G y sea b = a^s, entonces b genera un subgrupo cíclico H de G con n/d elementos donde d es el máximo común divisor (abreviado mcd) de n y s.

Es un poquito complicado de entender a lo mejor, pero viene que ni anillo al dedo para el ejercicio:

Según este teorema, el subgrupo H = <a^s> tiene n/mcd(n,s) elementos.

Luego el orden del subgrupo H es un divisor de n. Eso forma parte de la teoría de grupos, hay un teorema fundamental que dice que el orden de un subgrupo divide al grupo, pero como aún no estaba dado bien está saber que se cumple aquí.

Llamemos m = mcd(n, s) y tomemos el elemento a^m.

Vamos a comprobar que <a^m> = <a^s> = H

Veamos el orden de <a^m>, será el mínimo j tal que (mj mod n) = 0

Por tanto mj será múltiplo de m obviamente y de n, será el mcm(n, m) (Mínimo Común Múltiplo)

mj=mcm(n, m)

j=mcm(n, m)/m

Pero hay una propiedad que dice nm=mcd(n, m)·mcm(n, m) luego

mcm(n, m)/m = n/mcd(n, m) y por tanto

j = n/mcd(n, m)

Tenemos estos dos órdenes de subgrupos

|<a^m>| = n/mcd(n, m)

|<a^s>| = n/mcd(n,s)

Vamos a demostrar que mcd(n, m) = mcd(n, s)

m tenía por definición m=mcd(n,s) luego m divide a n, luego mcd(n, m) = m, luego

mcd(n, s) = mcd(n, m)

luego |<a^m>|=|<a^s>|

Y cuando dos subgrupos cíclicos tienen el mismo orden son el mismo.

Resumiendo todo un poco.

Cualquier subgrupo cíclico se genera por un solo elemento a^s y |<a^s>| = n/mcd(n,s), nosotros tomamos el elemento a^m donde m es el mcd(n, s) y hemos demostrado que

|<a^m>| = |<a^s>| con lo que son el mismo subgrupo, porque los subgrupos cíclicos con el mismo orden son el mismo.

Y eso es todo, voy a dar la respuesta por terminada porque llevaba varios días intentándola y ya está bien el desgaste que he llevado. Los otros apartados mándalos en otra pregunta si quieres que los conteste.