Demostrar que una función es diferenciable
demostrar que la función x^x de [0,infinito) --> R es diferenciable
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Es un método que se llama derivación logarítmica por el que vamos a calcular la derivada de esa función.
Por la regla de derivación de la cadena tenemos:
$$\begin{align}&(ln\,f(x))' = \frac{1}{f(x)}f'(x)\\ &\\ &(ln\, z^z)' = \frac{1}{z^z}(z^z)'\\ &\\ &(x^x)' = x^x(ln x^x)'\\ &\\ &\text{Y ahora calculamos }(ln\,x^x)'\\ &\\ &(ln\, x^x)'=(x·ln\,x)' = lnx +x·\frac 1x=lnx+1\\ &\\ &\text {con lo cual}\\ &\\ &(x^x)' = x^x(lnx+1)\end{align}$$Y eso es todo.
