Diferenciación ejercicio 20 pagina 153

$$\begin{align}&\frac{\partial f(0,0)}{\partial x}=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\\ &\\ &\lim_{h \to 0}\frac{\frac{h·0^2}{h^2+0^2}-0}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{0}{h^3}=0\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\frac{\partial f(0,0)}{\partial y}=\lim_{h\to 0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=\\ &\\ &\\ &\lim_{h\to 0}\frac{\frac{0·h^2}{0^2+h^2}}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{0}{h^3}=0\end{align}$$

Luego existen derivadas parciales.

b)

La función fog será

fog(t) = ab^2·t^3 / (a^2·t^2+b^2·t^2) = ab^2·t /(a^2+b^2) Si t distinto de 0

fog(0) = 0

Es diferenciable claramente en los puntos distintos de t=0, la derivada es ab^2/(a^2+b^2)

Y en t=0 la derivada es

f '(0) = lim h-->0 de [ab^2·h/(a^2+b^2) - 0] / h = ab^2/(a^2+b^2)

El gradiente de f(0,0) son las derivadas parciales por los vectores unitarios

grad(f) = 0i + 0j = (0,0)

g'(0) = (a, b)

grad(f) · g'(0) = 0·a+0·b = 0

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido.

Yohan, no sé si eres también Bladdy, creo que sí por las preguntas. Estoy haciendo un esfuerzo muy grande con estos problemas, por favor empieza a puntuar ya, no da gusto tener unas 20 preguntas como estas contestadas sin haber visto ningún punto todavía.