Ayuda con : Demuestre que la función f(y)=y/(y-1)
ayuda con : Demuestre que la función f(y)=y/(y-1) es invertible en \{1} y f^-1(y) = y/(y-1)
1 respuesta
teormea de función inversa
dada una función f: A->B se dice que la función f es invertible si y solo si existe f: B->A tal que f(x)=y si y solo si f^-1 (y)=x.
equivalentemente, se tiene que (f^-1 o f)(x) = f^-1(f(x))=x para toda x perteneciente a A y
(f o f^-1)(y)=f(f^-1(y)) = y para toda y perteneciente a B
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No, ese no es el teorema de la función inversa. Lo que me has dado es la definición de función inversa. A lo mejor es que no has dado ese teorema que dice que si f es continua con derivada continua en un abierto, y en un punto "a" la derivada es distinta de 0 entonces existen abiertos A de "a" y B de f(a) donde existe la función inversa de B en A y además
d[f^(-1)(y)] / dy = 1 / (d[f(x)] / dx)
Pero si no lo has dado calculamos la inversa de forma algebraica y ya está
La forma normal de calcular la inversa es poner
y = f(x)
Y despejar x en función de y
Pero como tu función viene con la variable y es justo lo contrario lo que hay que hacer, poner
x=f(y)
y despejar y como función de x
x = y/(y-1)
x(y-1) = y
xy - x = y
xy-y = x
y(x-1) = x
y = x / (x-1)
Una vez despejada y se procede a hacer estos cambios, en la parte izquierda se pone f^(-1)(y) y en la derecha se cambian las x por y
f^(-1)(y) =y/(y-1)
Y esta función esta definida para todos los valores salvo para y=1 porque se hace cero el denominador. Luego está definida en R-{1}
Y eso es todo.
