¿Es posible que el número n! Termine exactamente en 35 ceros en su representación decimal?
me puedes ayudar por favor?
gracias : )
1 respuesta
El número de ceros con que termina un número indica el número de veces que tiene el factor 10 ese número.
Y por cada factor 10 tiene un factor primo 2 y otro factor primo 5
Luego el numero de ceros al final depende de cuantos factores primos 2 y 5 esté "casados".
Y estarán casados tantos como indique el menor exponente de esos factores primos.
Por ejemplo
n = 2^6 · 3^2 · 5^4
El 2 tiene exponente 6 y el 5 tiene 4, se podrán conjuntar 4 veces y el número termina en 4 ceros.
Cuando el número es un producto factorial cada 2 tendremos u factor primo 2 y cada 5 un factor primo 5. Eso significa que hay muchos más factores primos 2 que factores primos 5. Luego el número de ceros será el el número de factores primos 5 que haya el número.
Ahora vamos a ver siu hay algún factorial con 35 factores primos del 5
El recuento de factores primos 5 en un factorial es sencillo. Cada 5 números hay un factor primo, si aparte es múltiplo de 25 se añade uno extra y si aparte es múltiplo de 125 se añade otro más.
Asi podemos distribuirlos en filas de este tipo para facilitar el recuento
5, 10, 15, 20, 25
30, 35, 40, 45, 50
55... 75
80... 100
105... 125
130, 135, 140, 145 150
Cada fila de estas tiene 6 factores primos 5 ya que hay 4 con un slo factor y el último de la fila tiene 2. Salva la quintqa que tiene 7 factores primos por tener el 125 = 5^3
En las primeras 5 filas tenemos estos factores de 5
4·6 + 7 = 31
Nos faltan 4 que podemos tomarlos de los cuatro primeros de la sexta fila.
Luego si se puede formar un factorial con 35 ceros al final, estas son las respuestas
146!, 147!, 148!, 149!
Lo que es posible es el factorial de 36 ceros ya que al pasar a 150 factorial son 37.
Y eso es todo.
Vaya con el corrector ortográfico que corrige mal muchas cosas. Hay un párrafo que ha quedado con muchas erratas
Cada fila de estas tiene 6 factores primos 5 ya que hay 4 con un solo factor y el último de la fila tiene 2. Salvo la quinta que tiene 7 factores primos por tener el 125 = 5^3
Y también se me olvidaban los consejos para los principiantes.
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pídeme aclaraciones. Y si ya está bien no olvides puntuar para tener derecho a futuras preguntas.
