Probar que son congruentes

a) Tenemos una sucesión aritmética cuya suma se calcula por la fórmula

S(n) = n(a1+an)/2

Qua aquí nos da

S(p-1) = (p-1)p/2

Como p es impar, p-1 es par y (p-1)/2 es entero sea k = (p-1)/2

S(p-1) = k·p con k € N luego el resto de S(p-1) / p es cero que eso significa que

S(p-1) := 0 (mod p)

b) Por algún sitio está la fórmula para la suma de los cuadrados, que eso no es una cosa que uno tenga que acordarse.

http://rinconmatematico.com/bunge/sumacuadrados/sumacuadrados.htm

Llamaré C(n) a la suma de los primeros n cuadrados naturales.

Es C(n) = n(n+1)(2n+1)/6

C(p-1) = (p-1)p[2(p-1)+1] / 6

C(p-1) = (p-1)p(2p-1) / 6

Si p=3 es

C(p-2) = 2·3·5 = 30 := 0 (mod p)

Si p > 3

p-1 es par luego es divisible entre 2

Supongamos que p-1 no es divisible entre 3

p-1=3n+1 o p-1=3n-1

p=3n+2 o p=3n

pero p=3n es absurdo porque p es primo, luego será

p=3n+2

Entonces

2p-1= 2(3n+2)-1 = 6n + 4 -1 = 6n + 3 que es múltiplo de 3

Resumiendo

p-1 es múltiplo de 2, y

(p-1) o (2p-1) es múltiplo de 3

con lo que

C(p-1) = (p-1)p(2p-1) / 6

Puede simplificarse a una expresión

C(p-1) = k·p con k € N y C(p-1) := 0 (mod p)

c) Y en algun sitio todavía más recóndito estará la suma de los cubos.

Pues estaba bien a la vista.

http://es.wikipedia.org/wiki/Cubo_(aritm%C3%A9tica)

SumaCubos(n) =[ n(n+1)/2]^2

SumaCubos(p-1) = [(p-1)p/2]^2

Como p es impar, (p-1) es par y divisible por 2 con lo que quedara

SumaCubos(p-1) = (kp)^2

Que es múltiplo de p y por lo tanto SumaCubos(p-1) := 0 (mod p)

Y es es todo.