Integración con polinomios

En este caso los dos factores del denominador son polinomios sin respuestas reales,

1+t^2 = 0 ==> t^2 = -1

t^2 + t + 1 = 0 el discriminante es 1-4 = -3 y las raíces son complejas

Además son distintas. Es estos casos se dice que el denominador tiene raíces complejas simples y la descomposición se hace con cada factor en un denominador y de numerador un polinomio de grado 1

(at+b)/(1+t^2) + (ct+d)/(t^2+t+1) =

[(at+b)(t^2+t+1)+(ct+d)(t^2+1)] / [(1+t^2)(t^2+t+1)]

Dejamos ya de ir arrastrando el denominador, sabemos que este numerador tiene que ser igual que el numerador original de la integral porque el denominador es el mismo.

El factor 2 lo sacaremos fuera de la integral y así salen números más pequeños

at^3+at^2+at+bt^2+bt+b+ct^3+ct+dt^2+d =

(a+c)t^3 + (a+b+d)t^2 + (a+b+c)t + (b+d) = 2t^2 - t +1

Y salen 4 ecuaciones que iré resolviendo sobre la marcha,

1) a+c = 0

2) a+b+d = 2 Como b+d=1 ==> a=1

3) a+b+c = -1 Como a+c=0 ==> b=-1

4) b+d = 1

Como a=1 ==> c=-1

Como b=-1 ==> d=2

Integral = 2$[(t-1)/(1+t^2)]dt + 2$[(-t+2)/(t^2+t+1)]dt =

Cada una se descompone en en logaritmo y un arcotangente. La primera sale fácil, en la segunda metemos el 2 dentro y tendremos que jugar con el numerador para hacer esa descomposición

2(1/2)ln|1+t^2| - 2arctg(t) + $[(-2t-1)/(t^2+t+1)]dt + $[5/(t^2+t+1)]dt =

2(1/2)ln|1+t^2| - 2arctg(t) - ln|t^2+t+1| + 5$dt/(t^2+t+1) =

Y esta última es un arcotangente pero hay que adecuar el denominador completando cuadrados para poder calcularlo

t^2+t+1 = (t+1/2)^2 - 1/4 +1 = [(2t+1)/2]^2 + (3/4) = (1/4)[(2t+1)^2 + 3] =

(3/4){[(2t+1)^2]/3 + 1} = (3/4){[(2t+1)/sqrt(3)]^2 +1}

Con esto queda

5$dt/(t^2+t+1) = (20/3)$dt/{[(2t+1)/sqrt(3)]^2 +1} =

Y aunque con este editor no se ve nada, eso es la derivada de un arcotangente salvo una constante

= (20/3)[sqrt(3)/2]arctg[(2t+1)/sqrt(3)]

Y la integral completa es:

ln|1+t^2| - 2arctg(t) - ln|t^2+t+1| + [10/sqrt(3)]arctg[(2t+1)/sqrt(3)] + C

Y eso es todo.