Evaluar las siguientes integrales

Es una integral racional. Debemos hallarlas raíces del polinomio.

La raíz x=2 se ve a simple vista, ahora dividimos entre x-2

    1   0   0  -8
2       2   4   8
    -------------
    1   2   4  |0

x^3 - 8 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)

y el discriminante del polinomio

b^2-4ac = 4-16=-12 es negativo, luego no hay más raíces reales es una pena.

Haremos la descomposición en funciones racionales más simples de esta forma

$$\begin{align}&\frac{1}{x^3-8}=\frac{a}{x-2}+\frac{bx+c}{x^2+2x+4}=\\ &\\ &\frac{ax^2+2ax+4a+bx^2-2bx+cx-2c}{(x-2)(x^2+2x+4)}\end{align}$$

a+b=0 ==> a=-b

2a-2b+c=0 ==> -4b+c=0

4a-2c=1 ==>-4b-2c=1

-c=1+2c

c=-1/3

b=-1/12

a=1/12

$$\begin{align}&\frac 1{12}\int \frac{1}{x-2}dx+\int \frac{-\frac{1}{12}x-\frac 13}{x^2+2x+4}dx=\\ &\\ &\\ &\\ &\frac{ln|x-2|}{12}-\frac{1}{12}\int \frac{x+4}{x^2+2x+4}dx=\\ &\\ &\\ &\frac{ln|x-2|}{12}-\frac{1}{24}\int \frac{2x+8}{x^2+2x+4}dx=\\ &\\ &\\ &\frac{ln|x-2|}{12}-\frac{1}{24}\int \frac{2x+2}{x^2+2x+4}dx-\frac{1}{24}\int \frac{6}{x^2+2x+4}dx=\\ &\\ &\\ &\frac{ln|x-2|}{12}-\frac{ln|x^2+2x+4|}{24}-\frac 14\int \frac{dx}{(x+1)^2+3}=\\ &\\ &\frac{ln|x-2|}{12}-\frac{ln|x^2+2x+4|}{24}-\frac {\sqrt 3}{12}\int \frac{\frac{1}{\sqrt 3}dx}{\left(\frac{x+1}{\sqrt 3}\right)^2+1}=\\ &\\ &\\ &\frac{ln|x-2|}{12}-\frac{ln|x^2+2x+4|}{24}-\frac{\sqrt 3}{12}arctg\left(\frac{x+1}{\sqrt 3} \right)+C\\ &\end{align}$$

En el penúltimo paso corrí mucho pero es que el editor ya no me dejaba trabajar más, se satura con pocas líneas y tuve que hacer varias cosas en un solo paso: conseguir la forma (f(x))^2+1 en el denominador y que el numerador tuviera f '(x), todo ello sin alterar la igualdad.

Y eso es todo.