Eliminar el término xy de la curva

Ala punto rotado se le suele llamar (x', y') pero eso plantea muchos problemas de escritura, lo llamaré (z, t). De acuerdo a una matriz de cambio de ejes

Cosa sena

-Sena cosa

Tenemos

x = zcosa - tsena

y = zsena + tcosa

2x^2 + sqrt(3)xy + y^2 =

2(z·cosa - t·sena)^2 + sqrt(3)(z·cosa - t·sena)(z·sena + t·cosa) + (z·sena + t·cosa)^2 =

2[z^2·cos^2a + t^2·sen^2(a) - 2zt·cosa·sena] +

sqrt(3)[z^2·cosa·sena + zt·cos^2(a) - tz·sen^2(a) - t^2sena·cosa) +

z^2·sen^2(a) + t^2·cos^2(a) + 2zt·sena·cosa =

Solo nos interesa dejar a cero la suma de términos que contienen zt

-4cosa·sena + sqrt(3)·[cos^2(a)-sen^2(a)] + 2sena·cosa=

2sena·cosa + sqrt(3)·[cos^2(a)-sen^2(a)] =

sen(2a) + sqrt(3)·cos(2a) = 0

sqrt[1 - cos^2(2a) + sqrt(3)cos(2a)=0

sqrt[1 - cos^2(2a)] = - sqrt(3)cos(2a)

Elevamos al cuadrado

1 - cos^2(2a) = 3cos^2(2a)

4cos^2(2a) =1

cos^2(2a) = 1/4

cos(2a) = +- 1/2

2a = pi/3, 2pi/3, 4pi/3 o 5pi/3

a = pi/6, pi/3, 2pi/3 o 5pi/6

Pero puede que alguna no sirva porque al elevar al cuadrado se introducen soluciones fantasma, vamos a la ecuación original que era

sen(2a) + sqrt(3)·cos(2a) = 0

sen(pi/3) + sqrt(3)·cos(pi/3) = sen60º + sqrt(3)cos60º = algo positivo

sen(2pi/3) + sqrt(3)cos(2pi/3) = sen120º+ sqrt(3)cos120º = sqrt(3)/2 - sqrt(3)(1/2) = 0

sen(4pi/3) + sqrt(3)cos(2pi/3) = sen240º+ sqrt(3)cos240º = algo negativo

sen(5pi/3) + sqrt(3)·cos(5pi/3) = sen300º + sqrt(3)cos300º = -sqrt(3)/2 +sqrt(3)·(1/2)=0

Luego los ángulos validos son 2a=2pi/3 o 5pi/3 osea

a=pi/6 o 5pi/6 = 30º o 150º

Pero hemos usado la matriz de cambio de ejes, eso significa que ese ángulo a no es el que hay que rotar la curva sino los ejes. Entonces la curva hay que rotarla

-pi/6 o -6pi/6 = -30º o -150º

Y eso es todo, no sé si hay que hacer algo más. A la curva esa le falta algo me sale una gráfica nula.