Solución ejercicio 7 pag 501

Evaluar la integral

$$\Int_C(2x^3-y^3)dx+(x^3+y^3)dy$$

donde c es la circunferencia unidad y verificar el teorema de Green para este caso.

La circunferencia unidad se parametriza mediante

c(t) = (cost, sent) con 0 <= t <= 2pi

Con ello la integral es

$$\begin{align}&\int_0^{2\pi}[(2cos^3t-sen^3t)(-sent)+(\cos^3t+sen^3t)cost]dt=\\ &\\ &\int_0^{2\pi}(-2sent·\cos^3t+sen^4t+\cos^4t+cost·sen^3t)dt=\\ &\\ &\text{Cada una se resuelve de una forma distinta}\\ &\text{La primera es medio inmediata}\\ &\left[\frac{\cos^4t}{2}  \right]_0^{2\pi}=\frac 12 - \frac 12 = 0\\ &\\ &\text{La cuarta también}\\ &\left[\frac{sen^4t}{4}\right]_0^{2\pi}=0-0=0\\ &\\ &\text{Para la segunda y tercera se usan fórmulas}\\ &\\ &\int_0^{2\pi}sen^4tdt=\int_0^{2\pi}(sen^2t)^2dt=\\ &\\ &\int_0^{2\pi}\left(\frac{1-\cos 2t}{2}\right)^2dt=\\ &\\ &\frac 14\int_0^{2\pi}\left(1-2cos 2t +\cos^22t \right)dt=\\ &\\ &\frac 14\int_0^{2\pi}\left(1-2cos2t+\frac 12+\frac{\cos 4t}{2}  \right)=\\ &\\ &\frac 14\left[\frac {3t}2-sen\,2t+\frac{sen4t}8  \right]_0^{2\pi}=\frac 34\pi\end{align}$$

De la misma forma se integra cos^4(t) sabiendo que

cos^2(t)= (1+cos 2x) / 2

El resultado es el mismo (3/4)pi

Luego la integral es la suma de 4 integrales, dos nulas y dos con valor (3/4)pi y el valor es

2(3/4)pi = (6/4)pi = (3/2)pi

Y el teorema de Green dice que esta integral de linea que hemos recorrido en sentido inverso de las agujas del reloj tiene el mismo valor que una doble con dominio el circulo unidad

$$\begin{align}&\int_L Xdx+Ydy=\iint_D\left(\frac{\partial Y}{\partial x}-\frac{\partial X}{\partial y} \right)dxdy\\ &\\ &\text{Lo comprobamos}\\ &\\ &\int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt {1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}}\left(3x^2+3y^2 \right)dxdy=\\ &\\ &\text{Cambiamos a polares}\\ &\\ &\int_0^1\int_0^{2\pi}3\rho^2·\rho\;d\theta d\rho=\\ &\\ &\int_0^1 3\rho^3·2\pi d\rho=6\pi \left.\frac{\rho^4}4\right|_0^1=\frac 32\pi\end{align}$$

Y el resultado es el mismo y queda verificado el teorema

Y eso es todo.