Solución ejercicio 8 pagina 330

El teorema de Fubini dice que si una función es continua en una región rectangular [a,b]x[c,d] entonces las integrales dobles con los diferenciales cambiados de orden existen y tienen el mismo valor.

$$\begin{align}&F(x,y)=\int_a^x\int_c^yf(u,v)dvdu=\int_c^y\int_a^x f(u,v)dudv\\ &\\ &\text{Ahora usaremos el teorema fundamental del cálculo}\\ &\\ &\frac{\partial}{\partial x}F(x,y)=\int_c^y f(x,v)dv\\ &\\ &\text{ y lo aplicamos de nuevo}\\ &\\ &\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial}{\partial x}F(x,y)  \right)=f(x,y)\\ &\\ &\frac{\partial^2 F(x,y)}{\partial y\; \partial x}=f(x,y)\\ &\\ &\\ &\text{ahora lo hacemos con los diferenciales intercambiados}\\ &\\ &\frac{\partial}{\partial y}F(x,y)=\int_a^x f(u,y)du\\ &\\ &\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial}{\partial y}F(x,y)  \right)=f(x,y)\\ &\\ &\frac{\partial^2 F(x,y)}{\partial x\; \partial y}=f(x,y)\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.