Geometría Analítica: La Hipérbola
Hola Valeroasm:
Determine los valores de "m" para que la recta
$$y=\frac{5x}{2}+m$$cumpla con las condiciones dadas:
a) Corte a la Hipérbola
$$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{36}=1$$b) Es tangente a ella.
Gracias Valero
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Todo consiste en sustituir el valor de la recta en la ecuación de la hipérbola y discutir lao valores de m que den 0, 1 o 2 respuestas en la ecuación de segundo grado que resulta.
$$\begin{align}&\frac{x^2}{9}-\frac{\left(\frac{5x}{2}+m\right)^2}{36}=1\\ &\\ &\frac{x^2}{9}-\frac{\frac{25x^2}{4}+5mx+m^2}{36}= 1\\ &\\ &\\ &\frac{x^2}{9}-\frac{25x^2+20mx+4m^2}{144}= 1\\ &\\ &144x^2-225x^2-180mx-36m^2 = 9·144\\ &\\ &-81x^2 -180mx -36m^2-1296 =0\\ &\\ &9x^2 +20mx +4m^2 + 144= 0\\ &\\ &\text{El discriminante es }b^2-4ac\\ &\\ &400m^2-36(4m^2+144)=\\ &\\ &400m^2-144m^2 - 5184=\\ &\\ &256m^2 -5184 \\ &\\ &\end{align}$$Si el discriminante es mayor que cero hay dos cortes, si es cero hay uno solo y la recta es tangente.
256m^2-5184 >=0
256m^2 >=5184
m^2 >= 5184/256 = 81/4
|m| >= 9/2
a) Hay dos cortes cuando m > 9/2 y cuando m < -9/2
b) Es tangente cuando m=9/2 y m=-9/2
Y eso es todo.
