Probabilidad y estadística 33

Dianis 1556!
2.68
Dada la dificultad para escribir aquí los números combinatorios yo usaré la notación C(m, n) para m sobre n
a) C(n,n) = n!/(n!·0!) = n!/n! = 1
Todos los elementos de un conjunto solo pueden ser tomados de una forma
b) C(n,0) = n!(0!·n!) = n!/n! = 1
Solo hay una forma de coger cero elementos de un conjunto, el conjunto vacio.
c) C(n,r) = C(n, n-r)
C(n,r)= n!/(r!(n-r)!)
C(n,n-r) = n!/((n-r)! (n-(n-r))!) = n!/((n-r)!(n-n+r)! = n!((n-r)!r!
Y las dos exprexiones son iguales.
Por cada forma de elegir r elementos de n obtenemos otra que es la de elegir los n-r elementos que quedan. Por eso estos dos números combinatorios son iguales
d) Pues es muy sencillo, basta con seguir la sugerencia. Lo que tenemos en el sumatorio son los números combinatorios que aparecen en el binomio de Newton. Si el binomio de Newton lo aplicamos a (1+1) los términos x^i·y^j son todos 1 con lo que solo quedan los C(n, i) y tenemos
Sumatorio de los números combinatorios C(n,i) desde i=0 hasta n = (1+1)^n = 2^n
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2.69
C(n,k) + C(n,k-1) = n!/[k!(n-k)!] + n!/[(k-1)!(n-k+1)!] =
Tomaremos como denominador común k!(n-k+1)!
= [n!(n-k+1) + n!k] / [k!(n-k+1)!] = [n!(n+1) - n!k + n!k] / [k!(n-k+1)!] =
(n+1)! / [k!(n-k+1)!] = C(n+1, k)
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2.70
La pista es contundente otra vez.  Quieren que utilicemos que
k^n = (1+1+1...+1)^n
Esto hará que en la expresión del libro
(x+y+z+t+...)^n = Sumatorio de multinomiales · x^i· y^j· z^k...
Desparezca la segunda parte por valer siempre 1 y tendremos que
Sumatorio de todos los multinomiales de n tomados en que subconjuntos = k^n
Y eso es todo.