Algebra superior :P
Sea G un un grupo y sean por (sub indice 1)... Por ( subíndice r),
El conjunto de generadores. Sea H un subgrupo.
- Suponga que H es generado por los elementos y(sub indice 1)... Y(sub indice m).
Asuma que x(sub indice i) y (sub indice j) x^-1 (sub indice i) . Están en H para todo ij. Asuma que G es finito. Muestre que H es normal.
El conjunto de generadores. Sea H un subgrupo.
- Suponga que H es generado por los elementos y(sub indice 1)... Y(sub indice m).
Asuma que x(sub indice i) y (sub indice j) x^-1 (sub indice i) . Están en H para todo ij. Asuma que G es finito. Muestre que H es normal.
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
La idea no es difícil captarla, pero la notación va a ser difícil de entender en esta página. Los subíndices los escribiré como caracteres normales.
Consiste en tomar un elemento "x" cualquiera de G y otro "y" de H y demostrar que
xy(y^-1) € H
Vamos a poner nombre a los conjuntos generadores.
A = {x1,x2, ..., xr}
B = {y1,y2, ..., ym}
Entonces todo elemento de G puede escribirse como producto de un número finito de elementos de A y todo elemento de H puede escribirse como el producto un número finito de elementos de B.
Podremos escribir x así
x = a1·a2···an con ai € A
y entonces su inverso será
x^-1 = (an^-1)···(a2^-1)(a1^-1)
Por otra parte y será de esta forma:
y = b1·b2···bj con bi € B
Con lo que el xy(x^-1) se transforma en
Xy(x^-1) = a1·a2···an · b1·b2···bj ·(an^-1)···(a2^-1)(a1^-1)
Vamos a intercalar entre cada dos elemento bi el producto (an^-1)·an. No alteraremos para nada el resultado puesto que (an^-1)·an = e el elemento neutro. Nos quedaría así:
Xy(x^-1) = a1·a2···an · b1·(an^-1)·an·b2·(an^-1)·an···(an^-1)·an·bj· (an^-1)···(a2^-1)(a1^-1)
La expresión tiene estos tríos de elementos:
An·b1·(an^-1)
An·b2·(an^-1)
...
An·bj·(an^-1)
Todos ellos son de H por tratarse de elementos generadores que cumplían que su conjugación pertenecía a H. Por tanto el producto de ellos pertenecerá a H, llamemos z a ese producto. La expresión que queda se hace imposible representarla, pero la idea es que ha desparecido an por un lado y an^-1 por el otro:
xy(x^-1) = a1·a2···(a sub n-1) · z · (a sub n-1)^-1···(a2^-1)(a1^-1)
Ahora z lo ponemos de nuevo como producto de elementos de B y usaremos el mismo truco intercalando entre cada dos elementos bi el producto [(a sub n-1)^-1]·(a sub n-1).
Como resultas de ello conseguiremos eliminar (a sub n-1) y su inverso de la expresión.
Se repite el proceso hasta eliminar finalmente a1 y quedará que xy(x^-1) es un elemento de H.
Y eso es todo, perdona que no lo haya desarrollado mucho la parte final pero es que la notación es insufrible, si lo escribes con notación natural lo entenderás mucho mejor.
Consiste en tomar un elemento "x" cualquiera de G y otro "y" de H y demostrar que
xy(y^-1) € H
Vamos a poner nombre a los conjuntos generadores.
A = {x1,x2, ..., xr}
B = {y1,y2, ..., ym}
Entonces todo elemento de G puede escribirse como producto de un número finito de elementos de A y todo elemento de H puede escribirse como el producto un número finito de elementos de B.
Podremos escribir x así
x = a1·a2···an con ai € A
y entonces su inverso será
x^-1 = (an^-1)···(a2^-1)(a1^-1)
Por otra parte y será de esta forma:
y = b1·b2···bj con bi € B
Con lo que el xy(x^-1) se transforma en
Xy(x^-1) = a1·a2···an · b1·b2···bj ·(an^-1)···(a2^-1)(a1^-1)
Vamos a intercalar entre cada dos elemento bi el producto (an^-1)·an. No alteraremos para nada el resultado puesto que (an^-1)·an = e el elemento neutro. Nos quedaría así:
Xy(x^-1) = a1·a2···an · b1·(an^-1)·an·b2·(an^-1)·an···(an^-1)·an·bj· (an^-1)···(a2^-1)(a1^-1)
La expresión tiene estos tríos de elementos:
An·b1·(an^-1)
An·b2·(an^-1)
...
An·bj·(an^-1)
Todos ellos son de H por tratarse de elementos generadores que cumplían que su conjugación pertenecía a H. Por tanto el producto de ellos pertenecerá a H, llamemos z a ese producto. La expresión que queda se hace imposible representarla, pero la idea es que ha desparecido an por un lado y an^-1 por el otro:
xy(x^-1) = a1·a2···(a sub n-1) · z · (a sub n-1)^-1···(a2^-1)(a1^-1)
Ahora z lo ponemos de nuevo como producto de elementos de B y usaremos el mismo truco intercalando entre cada dos elementos bi el producto [(a sub n-1)^-1]·(a sub n-1).
Como resultas de ello conseguiremos eliminar (a sub n-1) y su inverso de la expresión.
Se repite el proceso hasta eliminar finalmente a1 y quedará que xy(x^-1) es un elemento de H.
Y eso es todo, perdona que no lo haya desarrollado mucho la parte final pero es que la notación es insufrible, si lo escribes con notación natural lo entenderás mucho mejor.
