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Carito 1557!
5.64)
Por definición de probabilidad condicionada tenemos
$$P(Y_1 \lt 2Y_2 | Y_1<3Y_2) =\frac{P(Y_1 \lt 2Y_2,\;Y_1 \lt 3Y_2)}{P(Y_1 \lt 3Y_2)}=$$Siendo independientes y uniformemente distribuidas tenemos el cuadrado de 1x1 con la misma probabilidad en todos los puntos, la probabilidad de una figura es simplemente su área. Calcularemos el área de las figuras teniendo en cuenta que pondré Y1 en en el eje X e Y2 en el eje Y.
La zona Y1 < 2Y2 de acuerdo con eso sería
x < 2y
y>x/2
esto es la parte superior a la recta y = x/2 del cuadrado 1x1
La zona Y1 < 3Y2 sería
x < 3y
y>x/3
y esto es la parte superior a la recta y=x/3 del que cuadrado 1x1
Esta segunda zona engloba a la primera, luego la intersección de ambas es la primera.
Area intersección = 1 - área del triangulo de base 1 y altura 1/2 = 1-1·(1/2)/2 = 1-1/4 = 3/4
Área denominador = 1- área del triangulo de base 1 y altura 1/3 = 1-(1/3)/2 = 1-1/6 = 5/6
Luego la probabilidad condicionada que nos piden es:
P(...|...) = (3/4)/(5/6) = 3·6/(4·5) = 18/20 = 9/10 = 0.9
Y eso es todo.
