Ejercicio de probabilidad

Es una distribución binomial pero que tendrá que ser aproximada por una normal para poder calcularla.

Los 3 millones que no s dicen al principio es una dato innecesario, lo único que nos importa es la proporción de los que tienen fugas: 1 de cada 4 = 1/4 = 0.25

Esa es la probabilidad de tener fugas que es la que usaremos en nuestra distribución binomial

B(300, 0.25)

Oy en día no hay ningún problema en calcularlo con el ordenador, cualquier programa de estadística o incluso Excel lo hace. Pero antiguamente era esa una operación muy difícil de hacer y usaban una distribución que tenia valores parecidos.

Hay mil teorías sobre cuando se puede tomar la aproximación por buena, a mi me enseñaron n>=30. La que estoy usando yo últimamente es que np >5 y n(p.1)>5

Y nosotros tenemos

300 · 0.25 = 75

300 · 0.75 = 225

Cumple sobradamente los requisitos.

Una B(n, p) se aproxima por una normal X con

media = np = 300 3 0.25 = 75

desviación = sqrt[np(1-p)] = sqrt(300 · 0.25 · 0.75) = sqrt(56.25) = 7.5

Nos piden la probabilidad de que la binomial sea <= 60, los valores válidos son entre 0 y 60.

El 0 de la binomial es como el -oo de la normal y el 60 inclusive se toma como 60.5 de la normal, con lo cual la probabilidad que nos piden es:

P(X<=60.5) =

Para calcularla se tipifica a una Z ~N(0,1) restando la media y dividiendo entre la desviación

= P[Z <= (60.5 - 75)/7.5] =

P(Z <= -1.9333) =

1 - P(Z <= 1.9333) =

Tabla(1.93) = 0.9732

Tabla(1.94) = 0.9738

Y para 1.933333 tomamos una tercera parte de la diferencia y tendremos

Interpolación(1.9333333) = 0.9732 + (1/3)0.0006 = 0.9734

= 1 - 0.9734 = 0.0266

Esa es la probabilidad de que haya 60 a lo sumo.

Y eso es todo.