Demostrar que f(x)=xsen(1/x) uniformemente continua en el intervalo (0,2pi)
Demostrar que f es uniformemente continua en el intervalo abierto (0,2pi)
Ojala me pueda ayudar, ya que estoy atorado en esta demostración. Gracias de antemano.
1 Respuesta
El teorema de Heine dice que sI una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] entonces es uniformemente continua en [a,b]
Y si es uniformemente continua en [a,b] también lo es en (a,b).
Para conseguir que x·sen(1/x) sea continua en [0, 2pi] debemos definir en los puntos 0 y 2pi el valor del límite
lim x-->0 x·sen(1/x) = 0
luego hacemos f(0)=0
y en x=2pi ni hay ningún problema el límite es el valor de la función
Luego la función
f(x) = x·sen(1/x) si x€(0, 2pi]
0 si x=0
es continua en [0, 2pi], luego es uniformemente continua en [0, 2pi] y es uniformemente continua en (0, 2pi)
Y eso es todo.
