Álgebra moderna... Grupo cíclico2?

a) El orden de a es n ya que genera todo el grupo. Si fuera menor solo generaría ese número menor y luego volvería a repetir los mismos.

Para que a^i genere G debe tener orden n.

Supongamos que d=gcd(i,n) distinto de 1

(a^i)^(n/d) =a^(i·n/d)

como d divide a i, sea k=i/d

= a^(kn) = (a^n)^k = e^k = e

luego el orden de a^i es menor o igual que n/d, absurdo, luego debe ser d=1

Y en el sentido contrario. Si el gcd(i,n) = 1 ==> mcm(i,n) = i·n==>

si ix = kn se cumple x>=n ==>

(a^i)^x distinto de e para todo x < n y el orden de x^i es n.

b) Para cada divisor d de n tomaremos el conjunto H formado por

H={a^(n/d), a^(2n/d), ...., a^(dn/d)}

Tiene d elementos, tiene elemento neutro porque a^(dn/d)=a^n=e y cada elemento tiene su inverso porque dado a^(in/d) tenemos a^((d-i)n/d) cuyo producto es

a^((in+dn-in)/d) = a^(dn/d) = a^n = e

Luego H es un grupo y es el único con ese orden porque:

Todo subgrupo de un cíclico es cíclico. Si hay otro subgrupo de orden d será generado por un elemento de orden d, pero este grupo tiene todos los elementos de orden d, veamos que es así:

Sea x tal que (a^x)^d=e=(a^n)^y con 1<=x <= n

xd=ny

x = yn/d

Si y>d llegaremos a x >n que es contradictorio, luego

a^x = a^(yn/d) con 1<=y<=n

Pero todos los elementos de esas características ya están metidos en H. Luego a^x también y generará H y ese es el único grupo de orden d.

Y eso es todo.