Hallar la integral de

Se hace por partes, aplicando 4 veces el método.

$$\begin{align}&\int (ln x)^4dx =\\ &\\ &u = (lnx)^4\quad du=\frac{4(lnx)^3dx}{x}\\ &dv=dx \quad \quad\; v=x\\ &\\ &= x(lnx)^4 - 4\int (lnx)^3dx\\ &\\ &u= (lnx)^3 \quad du=\frac {3(lnx)2 dx}{x}\\ &dv=dx \quad\quad\; v=x\\ &\\ &= x(lnx)^4-4x(lnx)^3+12\int (lnx)^2 dx\\ &\\ &u= (lnx)^2\quad du=\frac {2 lnx dx}{x}\\ &dv=dx \quad\quad\; v=x\\ &\\ &=x(lnx)^4-4x(lnx)^3+12x(lnx)^2-24\int lnx dx=\\ &\\ &u= lnx\quad du=\frac {dx}{x}\\ &dv=dx \quad v=x\\ &\\ &=x(lnx)^4-4x(lnx)^3+12x(lnx)^2-24xlnx+24 \int dx=\\ &\\ &x(lnx)^4-4x(lnx)^3+12x(lnx)^2-24xlnx+24x+C=\\ &x[(lnx)^4-4(lnx)^3+12(lnx)^2-24lnx+24]+C\end{align}$$

Y eso es todo.