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La función es una función racional que son continuas y derivables en todos los puntos salvo las raíces del denominador. Pero en el único punto que cumple eso, el (0,0), se ha definido un valor de la función que puede hacer que sea derivable y diferenciable.
Por lo tanto calculamos las derivadas parciales por definición.
$$\begin{align}&\frac{\partial f(0,0)}{\partial x}=\lim_{h \to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\\ &\\ &\\ &\lim_{h \to 0}\frac{\frac{h^20^2}{h^2+0^4}-0}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{0}{h^3}= 0\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\frac{\partial f(0,0)}{\partial y}=\lim_{h \to 0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=\\ &\\ &\\ &\lim_{h \to 0}\frac{\frac{0^2h^2}{0^2+h^4}-0}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{0}{h^5}= 0\\ &\\ &\end{align}$$Esas son las derivadas parciales en el punto (0,0) y valen ambas 0
Para el resto de los puntos son estas
$$\begin{align}&\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{2xy^2(x^2+y^4)-x^2y^2(2x)}{(x^2+y^4)^2}=\\ &\\ &\frac{2x^3y^2+2xy^6-2x^3y^2}{(x^2+y^4)^2}=\frac{2xy^6}{(x^2+y^4)^2}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{2x^2y(x^2+y^4)-x^2y^2(4y^3)}{(x^2+y^4)^2}=\\ &\\ &\frac{2x^4y+2x^2y^5-4x^2y^5}{(x^2+y^4)^2}=\frac{2x^4y-2x^2y^5}{(x^2+y^4)^2}\end{align}$$b) Si fuera diferenciable en (0,0) se podría poner la función como el plano tangente en (0,0) más una función que tendiese a cero cuando (x,y) tendiese a (0,0). Esto es equivalente a la definición de diferenciabilidad.
El plano tangente es
z = zo + fx(xo,yo)(x-xo) + fy(xo,yo)(y-yo)
z = f(0,0) + fx(0,0)(x) + fy(xo,yo)(y)
El valor zo= f(0,0) = 0 y las parciales se calcularon y eran 0, luego
z = 0 + 0·x + 0·y = 0
Luego lo que decia de expresar la función como el plano tangente más una función es
f(x,y) = 0 + g(x,y)
g(x,y) = f(x,y)
donde g(x,y) debe tener límite 0 cuando (x,y) tiende a (0,0)
Pero eso no va a cumplirse. Si calculamos el límite por el camino x=y^2 tendremos
$$\begin{align}&\lim_{y\to 0}\frac{2y^2y^6}{(y^4+y^4)^2}=\lim_{x\to 0}\frac{2y^8}{4y^8}=\frac 12 \neq 0\\ &\\ &\end{align}$$Luego la función no es diferenciable en (0,0). Lo es en todos los demás puntos pero en (0,0) no lo es.
Y eso es todo.
vleroasm porque 2 y^2y^6 ?????si esta bien calculado???si es esa la función f??? o es la función g cualquiera que cumpla que tiende a cero???
Cuando un límite existe debe ser igual por todos los caminos. Asi como en funciones de una variable solo hay dos caminos, por la izquierda y la derecha, en funciones de varias variables hay infinitos caminos que llevan al punto. Una de las formas de demostrar que un límite no es un número determinado es encontrár un camino por el cual el límite es otro número distinto. Entonces aquí hemos encontrado un camino por el cual el límite es 1/2 y por tanto el límite no podrá ser 0.
Cuando se dice el camino x=y^2 quiere decir que el camino será el compuesto por los puntos de la forma
(y^2, y)
Que es un camino que lleva al punto (0,0) cuando y -->0
Entonces el calculo del límite por ese camino se hace tal como lo hice, donde esta la variable x se sustituye por y^2, por eso el 2xy^6 del numerador de la derivada parcial respecto a x se transforma en 2y^2y^6 y el (x^2+y^4)^2 del denominador se transforma en (y^4+y^4)^2
Y eso es todo.
pero por que lo haces en la derivada parcial con respecto a x y no en la función original f no entiendo.
La verdad es que me hice un lío, pensaba demostrarlo por el teorema de las derivadas parciales y continuas, luego me di cuenta que no y lo quise demostrar por definición pero al final mezcle ambos y demostré que la parcial en x no es continua. Pero eso que demostré no sirve para nada. El teorema dice
Si existen todas las parciales y son continuas entonces es diferenciable.
Pero si existen las parciales y no son continuas no se puede deducir nada.
Y aparte la definición que di de función diferenciable tampoco era la correcta.
Para que una función f: R²---> R sea diferenciable en un punto (xo, yo) primero deben existir las derivadas parciales en dicho punto: fx(xo, yo) y fy(xo, yo). Y lo segundo debe cumplirse esto
$$\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}\frac{f(x,y)-f(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y(x_0,y_0)(y-y_0)}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}=0$$Si no se cumplen las dos condiciones no es continua.
Tenemos que demostrare la diferenciabilidad en el punto (0,0). La primeras se cumple pues ya habíamos calculado que las derivadas parciales en (0,0) existían y su valor era 0. Con ese valor vamos a la segunda condición
$$\begin{align}& \lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{f(x,y)-0-0(x-0)-0(y-0)}{\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}}= \\ &\\ & \\ &\\ &\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}=\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{\frac{x^2y^2}{x^2+y^4}}{\sqrt{x^2+y^2}}= \\ &\\ &\\ &\\ &\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^2y^2}{(x^2+y^4)\sqrt{x^2+y^2}}\\ &\\ &\\ &\end{align}$$Y por el teorema del sándwich demostraremos que ese límite es cero
$$\begin{align}&0\le \frac{x^2y^2}{(x^2+y^4)\sqrt{x^2+y^2}}\le\\ &\\ &\\ &\frac{x^2y^2}{x^2 \sqrt{x^2+y^2}}=\frac{y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\le\\ &\\ &\\ &\frac{y^2}{\sqrt {y^2}}=|y|\\ &\\ &Luego\\ &\\ &0 \le \lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^2y^2}{(x^2+y^4)\sqrt{x^2+y^2}}\le \lim_{(x,y)\to (0.0)}|y|=0\\ &\\ &luego\\ &\\ &\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^2y^2}{(x^2+y^4)\sqrt{x^2+y^2}}=0\\ &\end{align}$$Y con esto queda demostrado que la función es diferenciable en (0,0)- Perdona, pero en estos temas ando algo perdido, no he tenido que emplearlos en muchos años y se olvidan.
