Integrales indefinidas: método cambio de variable o por partes

Ya te dije que solo sé usar el editor de ecuaciones de aquí.

$$\begin{align}&\int x·arcsen \sqrt x dx=\\ &\\ &u=arcsen \sqrt x\quad du=\frac{dx}{2 \sqrt x \sqrt{1-x}}\\ &\\ &dv = xdx \quad\quad\quad v=\frac{x^2}{2}\\ &\\ &\\ &=\frac{x^2·arcsen \sqrt x}{2}+\int \frac{x^2dx}{4 \sqrt x \sqrt{1-x}}=\\ &\\ &=\frac{x^2·arcsen \sqrt x}{2}+\frac 14\int x^{\frac 32}(1-x)^{-\frac 12}dx\end{align}$$

Y esta integral es de las llamadas binomias de tipo 3, es complicada.

x^m(a+bx^n)^p

es de tipo 3 porque (m+1)/n + p es entero y no lo son ni p ni (m+1)/n

(3/2 +1)/(1)+(1/2) = 5/2 + 1/2 = 6/2 = 3

$$\begin{align}&\int x^{\frac 32}(1-x)^{-\frac 12}dx=\int x^{-\frac 12}x^{\frac 32}\frac{(1-x)^{-\frac 12}}{x^{-\frac 12}}dx=\\ &\\ &\int x \left(\frac{1-x}{x}\right)^{-\frac 12}=\\ &\\ &\frac{1-x}{x}=t^2 \implies 1-x=xt^2\implies \\ &\\ &x=\frac{1}{1+t^2}\implies dx =-\frac{2tdt}{(1+t^2)^2}\\ &\\ &\\ &=-\int \frac{1}{1+t^2}t \frac{2t}{(1+t^2)^2}dt=\\ &\\ &-\int \frac{2t^2 dt}{(1+t^2)^3}\end{align}$$

¡Uff! Raíces complejas repetidas. Eso no se resuelve así como así. Aquí te dejo un enlace al método de Hermite por si la quieres resolver:

Método de Hermite

La solución es completa de todo es:

$$\frac{(8x^2-3)arcsen (\sqrt x) +(2x+3) \sqrt x \sqrt{1-x}}{16}$$