Calcula las siguientes integrales

Son tres sumandos, vayamos uno por uno.

La integral del primero te la tienes que aprender de memoria, es inmediata si se sabe pero bastante complicada si no se sabe.

Cuando a tí te enseñaron la derivada de la tangente ¿qué fórmula te dieron?

A mi me dieron

$$\begin{align}&tg´(x)= sec^2x = \frac{1}{\cos^2x}\\ &\\ &\text{Aunque más tarde les gustaba más esto}\\ &tg´(x) = 1+tg^2x\end{align}$$

Bueno, sea como sea tenemos que la derivada de la tangente es el primer sumando, luego la integral de ese sumando es la tangente.

El segundo también es una integral inmediata, recuerda que

$$\begin{align}&(\sqrt x)´=\frac{1}{\sqrt x}\\ &\\ &luego\\ &\\ &\int \frac{-3dx}{\sqrt x}= -3 \sqrt x\end{align}$$

Y la última también es inmediata, recuerda que 1/x es la derivada del logaritmo neperiano, luego la integral de 4/x es 4·lnx

Luego en resumen:

$$\begin{align}&\int \left(\frac{2}{\cos^2x} - \frac{3}{\sqrt {x} } + \frac{4}{x}\right) dx =\\ &\\ &\\ &\\ &tgx -3 \sqrt x + 4 lnx + C\\ &\\ &\text{A lo mejor a tu profesor le hace más feliz verlo así}\\ &\\ &\\ &tgx -3 \sqrt x + lnx^4 + C\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.