Estadística matemática con aplicaciones 3

4.26)

El teorema 4.5 dice que siendo c una constante, g(Y), g1(Y), g2(Y),..., gk(Y) funciones de una variable aleatoria continua Y. Se cumplen estos resultados:

1. E(c) = c

2. E[cg(Y)] = cE[g(Y)]

3. E[g1(Y)+g2(Y)+ ... +gk(Y)] = E[g1(Y)] + E[g2(Y)] + ... + E[gk(Y)]

La demostración es muy sencilla

a)

E(aY+b) =

Es la suma de dos funciones de Y, la constante b no deja de ser una función de Y, luego aplicamos el resultado 3

= E(aY) + E(b) =

al primer sumando aplicamos el resultado 2 y al segundo aplicamos el resultado 1

aE(Y) + b = a·mu + b

b) V(aY+b) =

Por definición V(Y) = E[(Y-E(Y))^2] luego

= E{[aY+b-E(aY+b)]^2} = E{(aY+b)^2 - 2(aY+b)E(aY+b) + [E(aY+b)]^2} =

Tengamos en cuenta que E(aY+B) es una constante, como tal puede salir como un factor fuera de la esperanza en el segundo sumando y como ella misma (al cuadrado pruqe esta aL cuadrado) en el tercer sumando.

E[(aY+b)^2] - 2E(aY+b)E(aY+b) + [E(aY+b)]^2 =

E[(aY+b)^2] - 2[E(aY+b)]^2 + [E(aY+b)]^2 =

E[(aY+b)^2] - [E(aY+b)]^2 =

el segundo sumando ya estaba calculado en el apartado a) lo dejamos intacto

E[(aY)^2 + 2abY + b^2] - [E(aY+b)]^2 =

E[(aY)^2] + 2abE(Y) + b^2 - [E(aY+b)]^2 =

Vamos sustituyendo ya el valor calculado en el apartdo a) y otros

E[(a^2)(Y^2)] + 2·a·b·mu + b^2 - (a·mu+b)^2 =

(a^2)·E(Y^2) + 2·a·b·mu + b^2 - (a^2)·(mu^2) - 2·a·b·mu - b^2 =

(a^2)[E(Y^2)- mu^2] =

Pero ya sabemos que E(Y^2)-mu^2 = V(Y), lo propone el libro como un ejercicio sencillo y lo es: V(Y) = E[(Y-mu)^2] = E(Y^2) - 2muE(Y) + mu^2 = E(Y^2) - 2mu·mu + mu^2 = E(Y^2)-mu^2 luego la igualdad que veniamos arrastrando termina con

= (a^2)·V(Y) = (a^2)·(sigma)^2

Que es lo que nos decían.

Y eso es todo.