Teoría de Números: Ejercicio 3

¿Qué son las parejas máximas? Sabemos que los divisores de un número van por parejas de tal manera que cada pareja tiene como producto el número, pero ¿son eso las parejas máximas?

También sabemos que

(m,n)[m,n]=mn

luego

mn= 8·2000 = 16000

Entonces la parejas máximas serían las que su producto es 16000

(1, 16000)

(2, 8000)

(4, 4000)

...

Siguiendo suponiendo que son eso las parejas máximas, el número de parejas máximas sería el número de divisores dividido por 2 si la solución es entera o la parte entera de ese cociente si es fraccional.

Descompongamos 16000 en factores primos

16000 = 2^7 · 5^3

El número de divisores es el producto de los exponentes incrementados en 1 unidad

Tau(16000) = 8·4 = 32

Luego el número de parejas máximas sería 16.

Y para calcular m y n usaremos teoremas sobre el mcd

El mcd=8 serán los factores comunes con el menor exponente, luego uno de ellos tendrá 2^3 y el otro el resto. Respecto al 5^3 lo tiene que tener solo uno de los dos números el que lo tenga, ya que si estuviera distribuido habría un factor 5 en común y el mcd sería múltiplo de 5

Luego hay dos posibilidades

m=2^3 = 8

n = 2^4 · 5^3 = 2000

m = 2^3 · 5^3 = 1000

n = 2^4 = 16

No cuento otras 2 más que hay por el simple cambio de nombre de m y n.

Y eso es todo.